#physics 

**Гармонические [[Механические колебания|колебания]]** - колебания, для которых зависимость физической величины от времени представляет собой [[Синус и косинус|синусоиду или косинусоиду]]

## Закон гармонических колебаний
$$\LARGE x(t)=x_m\cdot \cos(\omega \cdot t + \phi_0)$$
$$\LARGE y(t)=x_m\cdot \sin({\omega \cdot t + \phi_0)}$$
$\LARGE x_m$ - амплитуда, омега - угловая скорость, $\LARGE \phi_0$ - начальный угол.

Величина $\LARGE (\omega \cdot t + \phi_0)$ - **фаза колебаний**, $\LARGE \phi_0$ - **начальная фаза колебаний**.

[[Производная|Продифференцируем]] x(t):
$$\LARGE v_x(t)=-x_m\cdot\omega\cdot\sin(\omega\cdot t+\phi_0)=x_m\cdot\omega\cdot\cos(\omega \cdot t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$$
$$\LARGE a_x(t) = -x_m \cdot \omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t+\phi_0)=x_m\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t+\phi_0+\pi)$$

**Колебания проекции скорости опережают колебания координаты по фазе на $\LARGE \frac{\pi}{2}$, а колебания проекции ускорения опережают колебания координаты по фазе на $\LARGE \pi$**.

Следствие уравнений:

$$\LARGE a+\omega^2\cdot x=0$$

## Затухающие гармонические колебания

^f2fb57

$$\LARGE y=ke^{-ct}\sin{\omega t}$$$$\LARGE y=ke^{-ct}\cos{wt}$$
**Damped harmonic motion**, k - **initial amplitude**, c - **damping constant**