#algebra 


## Более простое определение
Ранг нулевой матрицы любых размеров равен нулю

Ранг любого ненулевого вектора-строки (-столбца) равен единице.

Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам.

**Ранг матрицы** - максимальное количество [[Линейная зависимость векторов|линейно независимых]] строк (столбцов)

### Метод окаймляющих миноров
НЕ ПУТАТЬ С МИНОРАМИ В ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ!!!!

Здесь минор - определитель, составленный из чисел, находящихся на пересечении различных $\LARGE k$ строк и различных $\LARGE k$ столбцов матрицы, $\LARGE k$ - **порядок минора**.
ДЛЯ ЭТОГО МАТРИЦА НЕ ОБЯЗАНА БЫТЬ КВАДРАТНОЙ

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250103122743.png]]

Метод окаймляющих миноров - способ быстрого нахождения ранга матрицы.
1) ранг матрицы не больше минимальной размерности строк или столбцов
2) ранг матрицы не меньше 1 (если матрица ненулевая)
3) смотрим на миноры второго порядка, если не находим минор, не равный 0, то ранг = 1
4) если есть хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то смотрим на миноры третьего порядка, В КОТОРЫЕ ВХОДИТ ПРЕДЫДУЩИЙ МИНОР
5) если третьего порядка все нулевые, то ранг = 2, если нет, то продолжаем дальше

>[!Пример работы метода]
>![[Pasted image 20250103123311.png]]
>![[Pasted image 20250103123322.png]]

### Метод Гаусса
Найти ранг методом Гаусса:
1) привести матрицу к ступенчатому виду
2) ранг матрицы равен количеству строк

### Применение ранга
Основная необходимость использования концепта ранга матрицы - исследование совместности СЛАУ.

**Теорема Кронекера-Капелли**:
> Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то система совместна, причем, если данное число совпадает с количеством неизвестных, то решение единственно


## Более формальное определение

**Ранг системы [[Вектор|векторов]]** - [[Размерность пространства|размерность]] её линейной оболочки.

**Ранг [[Matrix|матрицы]]** - ранг системы её строк.
Обозначается $\LARGE \text{rk}A$ или $\LARGE \text{rg}A$.

## Равенство рангов эквивалентных матриц
Системы векторов $\LARGE \{a_1, a_2, ..., a_n\}$ и $\LARGE \{b_1, b_2, ..., b_m\}$ называются **эквивалентными**, если каждый из векторов $\LARGE b_j$ [[Линейная зависимость векторов|линейно выражается]] через $\LARGE a_1, a_2, ... , a_n$ и, наоборот, каждый из векторов $\LARGE a_i$ линейно выражается через $\LARGE b_1, b_2, ..., b_m$. Это равносильно сопвадению линейных оболочек:
$\LARGE \langle a_1, a_2, ..., a_n \rangle = \langle b_1, b_2, ... , b_m \rangle$

Поэтому ранги эквивалентных систем векторов равны.
Отсюда из определения элементарных преобразований (из $\LARGE \uparrow$ ): системы строк матриц $\LARGE A$ и $\LARGE A'$, где последняя получена из первой путем элементарных преобразований, имеют равные ранги.

Отсюда:
**Ранг матрицы равен числу ненулевых строк любой ступенчатой матрицы, к которой она приводится элементарными преобразованиями строк**
![[Pasted image 20241125163734.png]]

### Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы ее коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.
(см. [[Gaussian elimination#^7708b0]])

### Теорема об определенности совместной системы линейных уравнений
Совместная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда ранг матрицы её коэффициентов равен числу неизвестных

### Теорема о размерности пространства решений системы
Размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений с $\LARGE n$ неизвестными и матрицей коэффициентов $\LARGE A$ равна $\LARGE n-\text{rk}A$
![[Pasted image 20241125165324.png]]
![[Pasted image 20241125165335.png]]

### Теорема о неизменении ранга системы столбцов матрицы при элементарных преобразованиях
![[Pasted image 20241125173424.png]]

### Теорема о ранге столбцов
![[Pasted image 20241125173825.png]]
(не превосходит - из теоремы о монотонности размерности)