#algebra 

**Линейная форма** $\LARGE n$ переменных - однородный многочлен 1-й степени: $\LARGE L(x_1, x_2, ..., x_n)=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$ 

(однородный в плане что нет свободного члена)

**Квадратичная форма $\LARGE n$** переменных - однородный [[Многочлен|многочлен]] 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо **парное** произведение переменных

>[!Пример]
> $$\LARGE Q(x_1,x_2)=a_{11}x^2_1+a_{22}x^2_2+2a_{12}x_1x_2$$

![[Pasted image 20250103170751.png]]
![[Pasted image 20250103170757.png]]


## [[Matrix|Матричная]] запись
Квадратичная форма представима в виде произведения трех матриц:
$$\LARGE Q(x_1,x_2, ..., x_n)=x^TAx$$
где $\LARGE x$ - столбец переменных, $\LARGE x^T$ - [[Transpose of a matrix|транспонированная]] строка

![[Pasted image 20250103170940.png]]
это симметрическая матрица.

[[Determinant of a matrix|Определитель]] матрицы $\LARGE A$ называют **дискриминантом квадратичной формы**, ранг матрицы $\LARGE A$ - [[Ранг матрицы|рангом]] квадратичной формы.

## **Знакопеременность** квадратичной формы:
![[Pasted image 20250103171354.png]]

Определение знакоперемнности:
если **все** [[Eigenvalues and eigenvectors of a matrix|собственные числа]] матрицы квадратичной формы положительны, то она определена положительно. Если все отрицательно - то отрицательно.

### Критерий Сильвестра
Угловые миноры:
![[Pasted image 20250103171736.png]]
Критерий Сильвестра:
1) квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда **все** ее угловые миноры больше нуля: $\LARGE \delta_1>0, \delta_2>0, ..., \delta_n>0$ 
2) квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда ее угловые миноры знакочередуется, причем 1-й минор меньше нуля: $\LARGE \delta_1 <0, \delta_2>0, \delta_3<0, ...$



Исключение из правила: неположительные ($\LARGE \leq 0$) и неотрицательные ($\LARGE \geq 0$) квадратичные формы
Главный минор $\LARGE k$ порядка - минор, составленный из элементов на пересечении $\LARGE k$ строк и столбцов с одинаковыми номерами:
![[Pasted image 20250103173719.png]]

Тогда:
1) ненулевая квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда все её главные миноры неотрицательны
2) ненулевая квадратичная форма определена неположительно тогда и только тогда, когда ее: главные миноры 1-го порядка неположительны, главные миноры 2-го порядка неотрицательны, главные миноры 3-го порядка неположительны и т.д.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250103174051.png]]
>значит, форма неотрицательна


## Каноническый вид
Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в **каноническом виде**

Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду (с помощью невырожденного преобразования), на примере формы двух переменных:
Форму $\LARGE Q(x_1,x_2)=a_{11}x^2_1+a_{22}x^2_2+2a_{12}x_1x_2$ приводится к виду $\LARGE Q(y_1, y_2)=\alpha_{11}y_1^2+\alpha_{22}y^2_2$ 

### Метод Лагранжа приведения к каноническому виду

Ключевой момент в линейных заменах вида $\LARGE x=P y$, где $\LARGE x,y$ - столбцы старых и новых переменных, $\LARGE P$ - матрица [[Линейное преобразование|линейного преобразования]].
Проверка: $\LARGE P^T AP=B$, где $\LARGE A-$ исходная матрица, $\LARGE B$ - новая матрица квадратичной формы.

![[Pasted image 20250103181149.png]]
![[Pasted image 20250103181201.png]]![[Pasted image 20250103181214.png]]
![[Pasted image 20250103181224.png]]
(стандартная замена)

Метод Лагранжа сохраняет сущность формы, но меняет саму форму

### Ортогональное преобразование
используются [[Eigenvalues and eigenvectors of a matrix|собственные числа и вектора]]
![[Pasted image 20250103181430.png]]
![[Pasted image 20250103181442.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250103181612.png]]
>![[Pasted image 20250103181727.png]]
>![[Pasted image 20250103181752.png]]

Ортогональное преобразование сохраняет размеры объектов

Если собственные числа разные, то нужно выполнять [[Процесс Грама-Шмидта|процесс Грама-Шмидта]].