#algebra 

Гамма-функция $\LARGE \Gamma(p)$ определяется через [[Интеграл|интеграл]]:

$$\LARGE \Gamma(p)=\displaystyle\int_0^{+\infty}dt\space t^{p-1}\space e^{-t}$$
сходится при для действительных $\LARGE p$ при условии $\LARGE p>0$
Условие обеспечивает сходимость интеграла при малых $\LARGE t$, а его сходимость при больших $\LARGE t$ обеспечивает экспонента.

$$\LARGE \Gamma(1)=1$$
## Представления в виде [[Факториал|факториала]]
Запишем $\LARGE \Gamma(p+1)$ в виде:
$$\LARGE \Gamma(p+1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}dt \space e^{-t}\space t^p$$
Интегрируя по частям:
$$\LARGE \Gamma(p+1)=p\space\Gamma(p)$$
Отсюда:
$$\LARGE \Gamma(p+1)=p!$$(для натуральных $\LARGE p$)


Представление для $\LARGE \frac{1}{2}$:
![[Pasted image 20250305054115.png]]
(используется [[Интеграл Гаусса|интеграл Гаусса]])
здесь !! - факториал через один

## Применение
### Вычисление площади единичной $\LARGE n$-мерной [[Сфера|сферы]]
![[Pasted image 20250307031321.png]]

Однако в [[Полярная система координат|полярных ]]координатах:
$$\LARGE d^nx=\sigma_nx^{n-1}dx$$

Тогда:
![[Pasted image 20250307033310.png]]
![[Pasted image 20250307033459.png]]