#physics 

# Для *электрического* поля

## Школьное
### Понятия
**Элементарная площадка** - площадка столь малых размеров, что её можно считать частью плоскости, [[Электрическое поле|напряжённость]] электрического поля во всех точках которой одинакова как по модулю, так и по направлению.

**Поток $\LARGE \Delta \Phi$ вектора напряженности $\LARGE \vec{E}$ через элементарную площадку** - произведение модуля E вектора напряженности электрического поля на площадь $\LARGE \Delta S$ этой площадки и косинус угла $\LARGE \alpha$ между вектором напряженности и направлением внешней нормали к ней:

$$\LARGE \Delta \Phi = E\cdot \Delta S \cdot \cos{\alpha}$$
**Полный поток $\LARGE \Phi$ ветора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность** - сумма потоков $\LARGE \Delta \Phi_i$ через все элементарные площадки данной поверхности.

### Теорема
> Поток $\LARGE \Phi$ вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен суммарному заряду $\LARGE Q$, заключенному внутри этой поверхности, делённому на электричческую постоянную $\LARGE \epsilon_0$:
> $$\LARGE \Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

### Доказательство
Пусть есть сфера радиусом R; в центре сферы находится точечный заряд $\large q$. Найдем полный поток через поверхность сферы:
$$ \LARGE \Phi=\sum \Phi_i=\sum(E\cdot\Delta S_i \cdot \cos_i(\alpha)=E\cdot\sum \Delta S_i=k\cdot \frac{q}{r^2}\cdot S=$$
$$\LARGE = \frac{kq}{r^2} \cdot 4\pi r^2=4\pi kq=\frac{q}{\epsilon_0}$$

Окружим рассмотренную сферу произвольной замкнутой поверхностью. Пусть внутри неё нет никаких зарядов, кроме заряда q, находящегося в центре сферы. Линии напряженности электрического поля непрерывны во всех точках, где нет электрических зарядов. 
**Следовательно, число "выходов" линий напряженности из произвольной замкнутой поверхности за вычетом числа "входов" всегда будет равно числу "выходов" линий напряженности из расмотренной сферы. Следовательно, полный поток произвольной замкнутой поверхности равен $\LARGE \frac{q}{\epsilon_0}$** (плюсом это ещё и значит, что если заряд вне поверхности, то поток будет равен *нулю*). Используя [[Принцип суперпозиции|принцип суперпозиции]], приходим к тому, что:
$$\LARGE \Phi = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n q_i}{\epsilon_0}$$


## Университетское
### Теорема Гаусса в интегральной форме
![[Pasted image 20250127222348.png]]
Доказательство:
![[Pasted image 20250127222804.png]]
![[Pasted image 20250127222837.png]]

Важное следствие:
![[Pasted image 20250127222936.png]]

#### Применения
>[!Замечание]-
>![[Pasted image 20250127225048.png]]

![[Pasted image 20250127230513.png]]
![[Pasted image 20250127230526.png]]

![[Pasted image 20250127232155.png]]
![[Pasted image 20250127232209.png]]

### Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Используя [[Теорема Гаусса-Остроградского|теорему Гаусса-Остроградского]]:
$$\LARGE \oint\textbf{F}d\textbf{S}=\displaystyle \int_V (\nabla\cdot\textbf{F})dV$$
Помня, что $\LARGE \displaystyle \oint_S \textbf{F}d\textbf{S}=4\pi Q=4\pi \int_V \rho dV=\int_V (\nabla \cdot \textbf{E})dV$
Отсюда выводим:
$$\LARGE \displaystyle \nabla \cdot \textbf{E}=4\pi\rho$$
Работает в электродинамике и является одним из [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]]

# Для магнитного поля
$$\LARGE \Phi_{\vec{B}}=0$$
поток вектора [[Магнитная индукция|магнитной индукции]] через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.