#algebra 

[[Вектор|Вектора]] называются **линейно зависимыми** тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Соответственно два вектора **линейно независимы** тогда и только тогда, когда они неколлинеарны
## Через линейные комбинации

Тривиальные и нетривиальные линейные комбинации:
![[Pasted image 20241125121138.png]]

Векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$ называются **линейно зависимыми**, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная 0, и **линейно независимыми** в противном случае

Понятие линейной зависимости/независимости относится именно к системам векторов, а не к отдельным векторам

>[!Примеры]
>![[Pasted image 20241125121444.png]]

### Лемма о линейной зависимости из линейного выражения
Векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные
![[Pasted image 20241125121639.png]]

Замечание:
![[Pasted image 20241125121730.png]]

### Лемма о линейном выражении вектора через систему линейно независимых векторов
Пусть векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$ линейно независимы. Вектор $\LARGE b$ линейно выражается через $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$ тогда и только тогда, когда векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n, b$ линейно зависимы
![[Pasted image 20241125121906.png]]

### Лемма о единственном линейном выражении вектора и системы векторов
Пусть вектор $\LARGE b$ линейной выражается через векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$. Это выражение единственно тогда и только тогда, когда векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$ линейно независимы.
![[Pasted image 20241125122529.png]]

### ОСНОВНАЯ Лемма о линейной зависимости
Если векторы $\LARGE b_1, b_2, ..., b_m$ линейно выражаются через векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$, причем $\LARGE m > n$, то векторы $\LARGE b_1, b_2, ..., b_m$ линейно зависимы
![[Pasted image 20241125123004.png]]
Главное следствие:
любые $\LARGE m>n$ векторов $\LARGE n$-мерного векторного пространства $\LARGE V$ линейно зависимы и, значит, в любом множестве $\LARGE S \subset V$ имеется максимальное линейно независимое подмножество, т.е. такое линейно независимое подмножество, которое становится линейно зависимым при добавлении к нему любого из оставшихся векторов множества S

Отсюда вытекает:
### Теорема о базисе как максимальном линейно независимом подмножестве
Всякое максимальное линейно независимое подмножество $\LARGE \{e_1, ..., e_k\}$ множества $\LARGE S$ является базисом линейной оболочки $\LARGE \langle S \rangle$ этого мноежества.
![[Pasted image 20241125134208.png]]

применяя высказанные соображения к $\LARGE S=V$, получаем:

### Теорема о дополнении до базиса
Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства $\LARGE V$ можно дополнить до базиса.
В частности, любой ненулевой вектор можно включить в базис, а любые $\LARGE n$ линейно независимых векторов $\LARGE n$-мерного векторного пространства уже составляют базис.

## Линейная оболочка множества
Пусть $\LARGE S \subset V$ - какое-то подмножество. Тогда совокупность всевозможных (конечных) линейных комбинаций векторов из $\LARGE S$ называется **линейной оболочкой** множества $\LARGE S$ и обозначается через $\LARGE \langle S \rangle$.
Это наименьшее [[Векторное пространство|подпространство]] пространства $\LARGE V$, содержащее $\LARGE S$.
Говорят, что пространство $\LARGE V$ порождается множеством $\LARGE S$, если $\LARGE \langle S \rangle = V$ 

![[Pasted image 20241125130258.png]]

## Линейная комбинация для бесконечномерного пространства
Пусть $\LARGE \{a_i: i \in I\}$ - система векторов, занумерованных элементами бесконечного множества $\LARGE I$. Линейной комбинацией векторов $\LARGE a_i, i \in I$, называется выражение вида $\LARGE \displaystyle \sum_{i\in I}\lambda_i a_i$, в котором лишь конечное число коэффициентов $\LARGE \lambda_i$ отлично от нуля, так что сумма фактически является конечной и, таким образом, имеет смысл. На основе этого определения линейной комбинации точно так же, как в случае конечных систем векторов, определяются понятия линейной выражаемости, линейной зависимости и базиса.
