#algebra 

## Неопределенный
Неопределенный интеграл - [[Первообразная]] функции

### Метод замены переменной
Заменить в подынтегральном выражении на более простое с использованием другой переменной, рассчитать новый дифференциал, посчитать.
![[Pasted image 20241004233740.png]]

![[Pasted image 20241004233754.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241004235101.png]]

### Метод интегрирования по **частям**
$$\LARGE (uv)'=u'v+uv'$$
$$\LARGE \frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$$
$$\LARGE u\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(uv)-\frac{du}{dx}v$$
Интегрируем:
$$\LARGE \int u dv=uv-\int vdu$$
По частям интегрируются интегралы:
1) с [[Логарифм|логарифмами]] и логарфимами, умноженными на какой-нибудь многочлен
2) с экспоненциальной функцией, умноженный на какой-нибудь многочлен
3) с [[Тригонометрические функции|тригонометрическими функциями]] (включая обратные), умноженными на [[Многочлен|многочлен]]

Основное правило: выбирать $\LARGE u$ и $\LARGE v$ так, чтобы $\LARGE \int vdu$ был легче для расчета, чем $\LARGE \int udv$.

>[!Пример]-
>![[Pasted image 20241010200704.png]]
>![[Pasted image 20241010200712.png]]

>[!Пример 2]-
>![[Pasted image 20241010203010.png]]
>![[Pasted image 20241010203020.png]]

>[!Пример 3]-
>![[Pasted image 20241010204742.png]]
>![[Pasted image 20241010204751.png]]


## Определенный
### Римана
Определенный интеграл $\LARGE \displaystyle \int_a^bf(x)dx$ является площадью под графиком функции $\LARGE f(x)$ на участке $\LARGE [a;b]$.
Или:
$\LARGE \displaystyle \int_a^bf(x)dx=\sum_{i}(x_{i+1}-x_i)\cdot f(x_i)$
суммы называются **римановскими суммами**
Тогда интеграл Римана непрерывной функции $\LARGE f$ по $\LARGE [a,b]$ называется предел сумм Римана при стремлении диаметра разбиения к нулю

НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ знакопеременность [[Числовая функция|функции]]:
![[Pasted image 20241004213421.png]]
интеграл на красном промежутке с знаком +, на зеленом - со знаком -

### Свойства
$$\LARGE \displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^\epsilon f(x)dx+\int_\epsilon^bf(x)dx$$
$$\LARGE \displaystyle \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$$(из определения через сумму)

$$\LARGE \displaystyle \int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx$$
$$\LARGE \displaystyle \int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$$
#### Формула Ньютона-Лейбница
$$\LARGE \displaystyle \int_{x_0}^{\epsilon+\delta x}f(x)dx=\int_{x_0}^\epsilon f(x)dx+\int_\epsilon^{\epsilon+\delta x}f(x)dx\approx \int_{x_0}^\epsilon f(x)dx+f(\epsilon)\delta x$$Отсюда:
$\LARGE \frac{dI}{d\epsilon}=f(\epsilon)$, т.е. интеграл - первообразная $\LARGE f(\epsilon)$: $\LARGE I=F(\epsilon)+C$. Если $\LARGE \epsilon = x_0$, то $\LARGE I=0$, т.е. $\LARGE C=-F(x_0)$
Отсюда:
$$\LARGE \displaystyle \int_{x_0}^\epsilon f(x)dx=F(\epsilon)-F(x_0)$$
формула Ньютона-Лейбница

Более формальное доказательство:
![[Pasted image 20250224035953.png]]
![[Pasted image 20250224040005.png]]
"определение" здесь:
![[Pasted image 20250224040336.png]]
(где $\LARGE \sigma$ - интегральная сумма)
#### Теоремы интегрируемости
![[Pasted image 20250224050934.png]]

#### Критерий Лебега интегрируемости по Риману
![[Pasted image 20250225204920.png]]
![[Pasted image 20250225205139.png]]

##### Леммы для доказательства критерия Лебега
![[Pasted image 20250225205303.png]]

![[Pasted image 20250225205313.png]]
![[Pasted image 20250225205319.png]]

![[Pasted image 20250225205336.png]]

##### Само доказательство
![[Pasted image 20250225205448.png]]
![[Pasted image 20250225205536.png]]

##### Следствия
![[Pasted image 20250225205650.png]]
![[Pasted image 20250225205714.png]]
![[Pasted image 20250225205729.png]]
#### Площадь фигуры
Если на отрезке $\LARGE [a;b]$ непрерывная функция $\LARGE f(x)$ больше либо равна некоторой непрерывной функции $\LARGE g(x)$, то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми $\LARGE x=a, x=b$, можно найти по формуле $\LARGE S=\displaystyle \int_a^b (f(x)-g(x))dx$ 

### [[Несобственный интеграл]]