#algebra 

**[[Вектор|Векторное]] (линейное) пространство над [[Алгебраическое поле|полем]] $\LARGE K$** - множество $\LARGE V$ с операциями сложения и умножения на элементы поля $\LARGE K$ со свойствами:
1) относительно сложения $\LARGE V$ есть [[Абелева группа|абелева группа]]
2) $\LARGE \lambda(a+b)=\lambda a + \lambda b$ для любых $\LARGE \lambda \in K$, $\LARGE a,b \in V$
3) $\LARGE (\lambda + \mu)a=\lambda a + \mu a$ для любых $\LARGE \lambda, \mu \in K$, $\LARGE a \in V$
4) $\LARGE (\lambda \mu)a=\lambda (\mu a)$ для любых $\LARGE \lambda, \mu \in K$, $\LARGE a \in V$
5) $\LARGE 1a=a$ для любого $\LARGE a \in V$

Элементы векторного пространства называются **векторами**.
Векторы в смысле элементарной геометрии - **геометрические векторы**

Пространство геометрических векторов евклидовой плоскости (соответственно пространства) - $\LARGE E^2$ (соответственно $\LARGE E^3$) - над полем $\LARGE \mathbb{R}$

>[!Примеры]
>![[Pasted image 20241119230227.png]]
>![[Pasted image 20241119231405.png]]

Базис поля $\LARGE \mathbb{C}$ как векторного пространства над $\LARGE \mathbb{R}$ можно взять $\LARGE \{1,i\}$.


>[!Caveat]
>Умножение вектора на число - не есть операция над двумя элементами одного и того же множества, это операция, которая каждой паре (число, вектор) ставит в соответствие вектор

Следствия из аксиом векторного пространства:
![[Pasted image 20241119231946.png]]


### Подпространство
Подмножество $\LARGE U$ векторного пространства $\LARGE V$ называется **подпространством**, если:
1) $\LARGE U$ является подгруппой аддитивной абелевой группы $\LARGE V$
2) $\LARGE a \in U \Rightarrow \lambda a \in U$ для любого $\LARGE \lambda \in K$

(при наличии условии 2) свойство $\LARGE a \in U \Rightarrow -a \in U$ определения подгруппы выполняется автоматически) 

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241120211952.png]]

## [[Изоморфизм#^2c0a33]]

### Изоморфизм по количеству базисов
Всякое векторное пространство $\LARGE V$ над полем $\LARGE K$, имеющее [[Базис|базис]] из $\LARGE n$ векторов, изоморфно пространству $\LARGE K^n$.
![[Pasted image 20241120214522.png]]


## Связанные понятия
Векторное пространство называется **конечномерным**, если оно [[Линейная зависимость векторов|порождается]] конечным числом векторов, и **бесконечномерным** в противном случае
>[!Пример]
>![[Pasted image 20241125133117.png]]

Векторное пространство, обладающее [[Счетное множество|счетным]] базисом, называется **счетномерным**.

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241125145153.png]]
### Теорема о наличии базиса
Всякое конечномерное векторное пространство $\LARGE V$ обладает базисом. Более точно, из всякого конечного порождающего множества $\LARGE S \subset V$ можно выбрать базис пространства $\LARGE V$
![[Pasted image 20241125125959.png]]
(лемма 1 - лемма о линейной зависимости и линейном выражении)

### [[Размерность пространства]]

