#physics 
## Вывод
**Четырехмерная скорость** (4-скорость) частицы - [[Четырехмерные векторы|4-вектор]]
$$\LARGE u^i=\frac{dx^i}{ds}$$

Замечаем, что:

$$\LARGE ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}$$(где $\LARGE v$ - обычная трехмерная скорость частицы). Поэтому:

$$\LARGE u^1=\frac{dx^1}{ds}=\frac{dx}{cdt\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{v_x}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

Таким образом:
$$\LARGE u^i=(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \frac{\textbf{v}}{c\sqrt{1-v^2/c^2}})$$

## Свойства

4-скорость - **безразмерная величина**!

Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что $\LARGE dx_i dx^i = ds^2$, имеем:
$$\LARGE u^iu_i=1$$

Геометрически $\LARGE u^i$ есть единичный 4-вектор касательной к мировой линии частицы.

Аналогично определению 4-скорости, вторую производную 
$$\LARGE w^i = \frac{d^2 x^i}{ds^2}=\frac{du^i}{ds}$$
можно назвать **4-ускорением**

Дифференцируя $\LARGE u^i u_i = 1$, получаем:
$$\LARGE u_i w^i=0$$
![[Pasted image 20260116235501.png]]

Это значит, что 4-векторы скорости и ускорения **взаимно ортогональны**.

>[!Задача-пример]
>![[Pasted image 20260117000544.png]]
>![[Pasted image 20260117000555.png]]