#algebra 

**Подпоследовательность** [[Предел последовательности|последовательности]] $\LARGE \{x_n\}$ - последовательность вида $\LARGE \{x_{n_k}\}$, где $\LARGE n_1<n_2<...<n_k<...$  - возрастающие номера
т.е. подпоследовательность получается путем вычеркивания некоторых элементов исходной последовательности (НО НЕ ПРОИЗВОЛЬНО ЗАНУМЕРОВАННАЯ ЧАСТЬ ИСХОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: $\LARGE x_1, x_3, x_2, x_5, x_4$ подпоследовательностью не считается)

## Частичные пределы

**Частичный предел последовательности** - [[Предел последовательности|предел]] какой-либо ее сходящйся последовательности.

$\LARGE \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\inf{x_n}$ - наименьший частичный предел (точная нижняя грань частичных пределов)
$\LARGE \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sup{x_n}$ - наибольший частичный предел (точная верхняя грань частичных пределов)

![[Pasted image 20241031222437.png]]

### Теорема о сходимости ограниченных последовательностей к $\LARGE \sup$ или $\LARGE \inf$

^e656da

> Всякая ограниченная возрастающая последовательность [[Предел последовательности|сходится]] к своей точной верхней грани, а всякая ограниченная убывающая последовательность сходится к своей точной нижней грани

^f73982

![[Pasted image 20241031223150.png]]

### [[Теорема Больцано-Вейерштрасса]]