#algebra 

**Векторное поле** $\LARGE \vec{F}=(P,Q,R)$ называется **потенциальным**, если есть такая функция $\LARGE f(x,y,z)$, что:
$$\LARGE P=\frac{\partial f}{\partial x}, \space \space Q=\frac{\partial f}{\partial y},\space\space R=\frac{\partial f}{\partial z}$$

Функция $\LARGE f$ называется **потенциалом поля** $\LARGE \vec{F}$, $\LARGE \vec{F}=\text{grad}f=\nabla f$ или $\LARGE df=Pdx+Qdy+Rdz$ 
([[Градиент]])

![[Pasted image 20250319185313.png]]

## Свойства
### Независимость от пути
Пусть в пространстве задана гладкая $\LARGE C^1$ функция $\LARGE f(x,y,z)$, потенциал. Тогда [[Интеграл]] от $\LARGE df$ по любой [[Определение и длина кривой|кусочно гладкой кривой]] $\LARGE \Gamma$, выходящей из $\LARGE (x_1,y_1,z_1)$ в $\LARGE (x_2,y_2,z_2)$ не зависит от пути:
![[Pasted image 20250319185901.png]]
![[Pasted image 20250319190224.png]]

Справедливо обратное свойство:
![[Pasted image 20250319190307.png]]
![[Pasted image 20250319190316.png]]
(последнее - теорема о среднм для интегралов первая)
Интеграл по замкнутому контуру равен нулю, если и только если поле потенциальное.

![[Pasted image 20250319190638.png]]