#algebra 

Формулы сложения для [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]]

## [[Синус и косинус|Косинус]] суммы и разности двух углов
### Разности
$$\huge \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$
Доказательство:
![[Pasted image 20230310173235.png]]
[[Скалярное произведение векторов]] OC и OB:
$\LARGE \vec{a}\cdot \vec{b}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$
$\LARGE \vec{a}\cdot \vec{b}=\cos{\gamma}$, где гамма - угол между OC и OB ($\LARGE 0 \leq \gamma \leq \pi$)
Тогда:
$\LARGE \cos{\gamma}=\cos{(\alpha-\beta)}$

Но тогда:
$\huge \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$
ч.т.д.

### Сумма
$$\huge \cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$$
Доказательство:
выводится из первой, зная, что $\LARGE \alpha+\beta=\alpha-(-\beta)$.

## Синус суммы и разности двух углов
### Суммы
$$\huge \sin(\alpha+\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$
Доказательство:
$\LARGE \sin(\alpha+\beta)=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta)$
Дальше использовать рание формулы.

### Разность
$$\huge \sin(\alpha-\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$
Доказательство: через формулу суммы
## Тангенс и котангенс суммы и разности двух углов
$$\LARGE \tan({\alpha+\beta})=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}$$
Если допустить, что $\LARGE \cos{\alpha} \neq 0$ и $\LARGE \cos{\beta} \neq 0$, то тогда:

$$\huge \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$
$$\huge \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$
Аналогично для котангенсов (условие: $\LARGE \sin{\alpha}, \sin{\beta} \neq 0$):
$$ \huge \cot({\alpha+\beta})=\frac{\cot{\alpha}\cot{\beta}-1}{\cot{\alpha}+\cot{\beta}}$$
$$ \huge \cot({\alpha-\beta})=\frac{\cot{\alpha}\cot{\beta}+1}{\cot{\beta}-\cot{\alpha}}$$
## Формулы для двойного аргумента
$$\huge \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$$
$$\huge \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$$
$$\huge \tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}$$
$$\huge \cot{2\alpha}=\frac{\cot^2{\alpha}-1}{2\cot{\alpha}}$$
## Сумма и разность синусов и косинусов
$$\huge \sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\huge \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$
$$\huge \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\huge \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$
Доказательство:
Пусть $\LARGE x=\frac{\alpha+\beta}{2}$, $\LARGE y=\frac{\alpha-\beta}{2}$, тогда $\LARGE \alpha=x+y, \beta=x-y$
Далее используй формулы косинуса суммы, косинуса разности, синуса суммы, синуса разности.

## Формулы для половинных углов
$$\huge \sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}$$
$$\huge \cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}$$
Доказательство:
$\LARGE \cos{\alpha}=\cos{2\cdot\frac{\alpha}{2}=\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}$
$\LARGE 1=\cos^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\alpha}{2}}$
Сложить и вычесть для формул

## Произведение синусов и косинусов
$$\huge \sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$$
$$\huge \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))$$
$$\huge \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$$
Док-во: использовать формулу синусов и косиунсов суммы и разности двух углов, а затем их складывать и вычитать.

## Прочее для тангенсов
$$\huge \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}$$
$$\huge \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$$
Доказательство: раскрыть тангенс, домножить на $\LARGE 2\cos{\frac{\alpha}{2}}$ / $\LARGE 2\sin\frac{\alpha}{2}$.

$$\huge \sin{\alpha}=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$
$$\huge \cos{\alpha}=\frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$

Доказательство:
взять каждую из получившихся формул и домножить на $\LARGE \cos^2\frac{\alpha}{2}$.