#physics 
## Определение
Дипольный момент
$$\LARGE \textbf{p}=\int \textbf{r}' \space\rho(\textbf{r}')\space dV'$$
## Вывод
![[Pasted image 20250223223148.png]]
Если $\LARGE Q \neq 0$: потенциал и электрическое поле определяеются зарядом, а дипольная часть - лишь маленькая добавка

Если же полный заряд системы $\LARGE Q=0$, а дипольный момент $\LARGE p \neq 0$, то [[Потенциал|потенциал]] и [[Напряженность электрического поля|напряженность электрического поля]] **вдали** от системы как раз и даются дипольным разложением:
![[Pasted image 20250223224225.png]]

## Свойства
Дипольный момент аддитивен:
$$\LARGE \textbf{p}=\sum \textbf{p}_i$$
(из определения)


Дипольный момент системы не зависит от выбора начала координат, если полный заряд системы равен нулю:
![[Pasted image 20250223225236.png]]


## Электрическое поле диполя
![[Pasted image 20250224023208.png]]
$$\LARGE \textbf{E}_{дип}=\frac{3(\textbf{p}\cdot\textbf{r})\cdot\textbf{r}-\textbf{p}\cdot r^2}{r^5}$$
# Диполь во внешнем поле
## Потенциальная [[Энергия электрического поля|энергия диполя]]
![[Pasted image 20250224025713.png]]

Потенциальная энергия *минимизируется* в случае, когда диполь направлен вдоль внешнего поля, так что можно сказать, что поле хочет ориентировать диполь по себе.

## [[Момент сил|Момент силы]], действующей на диполь
$$\LARGE M=\sum\textbf{r}_i\times \textbf{F}_i=\sum\textbf{r}_i\times q_i\textbf{E}(\textbf{r}_i)= \textbf{p}\times\textbf{E}$$

## [[Сила]], действующая на диполь
$$\LARGE F_x=\sum q_i E_x(\textbf{r}_i)=\sum q_i[E_x(0)+\textbf{r}_i\cdot\nabla E_x\big|_{\textbf{r}=0}]=\textbf{p}\cdot(\nabla E_x)$$

![[Pasted image 20250224030307.png]]

Заметим, что для получения каждой из компонент силы мы должны применить оператор:
$$\LARGE \textbf{p}\cdot\nabla=p_x\frac{\partial}{\partial x}+p_y \frac{\partial}{\partial y}+p_z\frac{\partial}{\partial z}$$

Тогда:
$$\LARGE \textbf{F}=(\textbf{p}\cdot\nabla)\textbf{E}$$

ОДНАКО В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ДИПОЛЬ, ЗАНУЛЯЕТСЯ! (в силу нулевого заряда диполя)

# Взаимодействие диполей
## Энергия взаимодействия двух диполей
![[Pasted image 20250315133359.png]]
$$\LARGE U=-\frac{1}{2}\textbf{p}_1\textbf{E}_1-\frac{1}{2}\textbf{p}_2\textbf{E}_2=-\textbf{p}_1\textbf{E}_1=-\textbf{p}_2\textbf{E}_2$$
где $\LARGE \textbf{E}_1$ - электрическое поле в точке первого диполя, $\LARGE \textbf{E}_2$ - в точке второго диполя

Отсюда:
![[Pasted image 20250315133532.png]]


![[Pasted image 20250315160357.png]]
## Сила взаимодействия двух диполей
![[Pasted image 20250315133546.png]]

![[Pasted image 20250315141241.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250315145933.png]]
>![[Pasted image 20250315145953.png]]
>![[Pasted image 20250315150006.png]]
>![[Pasted image 20250315150026.png]]

>[!Пример 2]
>![[Pasted image 20250315160157.png]]
>![[Pasted image 20250315160209.png]]



# В веществе
В [[Диэлектрик|диэлектриках]] во внешнем электрическом поле происходит небольшая деформация каждого атома, т.е. превращение их в диполи.
Возможна и такая ситуация, когда атомы или молекулы, из которых состоит вещество, изначально являются диполями, а во внешнем электрическом поле просто происходит упорядочивание диполей в средней в направлении поля

![[Pasted image 20250316212940.png]]

Диполя создают некоторую добавку к внешнему полю внутри диэлектрика, и их вклад в [[Потенциал|потенциал]] электрического поля:
![[Pasted image 20250316213015.png]]

($\LARGE \textbf{P}(\textbf{r})\equiv \frac{\textbf{p}}{V}$)
![[Pasted image 20250316213055.png]]

Отсюда:

$$\LARGE \varphi(\textbf{r})=\int\textbf{P}(\textbf{r}')\nabla' \frac{1}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}dV'$$
![[Pasted image 20250316213148.png]]

Отсюда $\LARGE \varphi(\textbf{r})$:
![[Pasted image 20250316213209.png]]
Что можно записать как:

$$\LARGE \varphi(\textbf{r})=\oint\frac{\sigma_{связ}}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}dS'+\int\frac{\rho_{связ}}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}dV'$$
Где:
![[Pasted image 20250316213356.png]]

>[!Иллюстрация]
>![[Pasted image 20250316213441.png]]
>![[Pasted image 20250316213446.png]]
>![[Pasted image 20250316220658.png]]


>[!Пример]
>![[Pasted image 20250316213502.png]]
>(используется [[Теорема Гаусса]])

