#algebra 

## Простое определение

**Линейное преобразование** - такая фнукция $\LARGE A(\textbf{v})$, котороая в данном [[Векторное пространство|векторном пространстве]] сопоставляет каждому вектору $\LARGE \textbf{v}$ некий вектор $\LARGE \textbf{u}$ этого же пространства, причем:
1) $\LARGE A(\textbf{v}+\textbf{w})=A(\textbf{v})+A(\textbf{w})$
2) $\LARGE A(\lambda \textbf{v})=\lambda A(\textbf{v})$

где $\LARGE \lambda \in K, \textbf{v}, \textbf{w} \in V$ ($\LARGE K$ - поле, над которым расположено векторное пространство, обычно $\LARGE \mathbb{R}$)

Линейное преобразование также называют **линейным оператором**.

### Запись в виде матрицы
Нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы:
![[Pasted image 20250103143929.png]]
(т.к. матрица линейного преобразования порождается базисными векторами, в задачах ОБЯЗАТЕЛЬНО векторы должны быть заданы в каком-либо, пусть даже неизвестном, базисе)

Тогда:
$\LARGE X'=AX$ 

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250103144130.png]]

### Переход в разные [[Базис|базисы]]
1) составить матрицу перехода от старого базиса к новому $\LARGE T$ ("укладывая" коэффициенты в **столбцы**)
2) Матрица линейного преобразования в новом базисе равна $\LARGE A'=T^{-1}AT$ (выводится легко)

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250103151225.png]]
>![[Pasted image 20250103151236.png]]