#algebra 

Простыми словами базис - собрание [[Орт|координатных векторов]].

Обозначение: $\LARGE (\vec{i}, \vec{j})$, где $\LARGE \vec{i}, \vec{j}$ - базисные вектора.

Формально **базис** - пара [[Линейная зависимость векторов|линейно независимых]] векторов, взятых в определенном порядке.

## Определение с [[Векторное пространство|векторным пространством]]
Всякое выражение вида $\LARGE \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + ... + \lambda_n a_n$, $\LARGE (\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in K)$ называется **линейной комбинацией** векторов $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n \in V$.
Говорят, что вектор $\LARGE b$ линейно выражается через векторы $\LARGE a_1, a_2, ..., a_n$, если он равен некоторой их линейной комбинации

**Базис** векторного пространства $\LARGE V$ - система векторов $\LARGE \{e_1, e_2, ..., e_n\} \subset V$, если каждый вектор $\LARGE a \in V$ единственным образом линейно выражается через $\LARGE e_1, e_2, ..., e_n$.
Коэффициенты этого выражения - коорданиты вектора $\LARGE a$ в базисе $\LARGE \{e_1, e_2, ..., e_n\}$ 

![[Pasted image 20241120213830.png]]

**Базис** векторного пространства $\LARGE V$ - всякая линейно независимая система векторов, [[Линейная зависимость векторов|порождающая]] пространство $\LARGE V$
## Свойства
Базис, вектора которого ортогональны друг другу, называется **ортогональным**
Базис, модули векторов которого равны единице, называется **нормированным**
Базис, вектора которого ортогональны друг другу, а модули векторов которого равны единице, называется **ортонормированным**

## Переход от одного базиса к другому
1) Записать матрицу перехода от базиса старого к базису новому, причем коэффициенты "укладывают" в столбцы:
	![[Pasted image 20241112185650.png]]
2) ![[Pasted image 20241112185722.png]]

Это все выводится из:
![[Pasted image 20241112185756.png]]