#algebra 

## Возрастающие
**Возрастающая [[Числовая функция|функция]] $f$ на множестве $X$** - функция, на множестве которой при увеличении аргумента увеличивается значение функции.

**Нестрого возрастающая функция $f$ на множестве $X$** - функция, для которой при $\large x_1, x_2 \in X, x_2>x_1 \Rightarrow f(x_2) \geq f(x_1)$

## Убывающие
**Убывающая функция $f$ на множестве $X$** - функция, на множестве которой при увеличении аргумента уменьшается значение функции.

**Нестрого убывающая функция $f$ на множестве $X$** - функция, для которой при $\large x_1, x_2 \in X, x_2>x_1\Rightarrow f(x_2) \leq f(x_1)$

## Свойства
![[Pasted image 20220725163303.png]]
Доказательство тривиально, аналогичны свойства для убывающих функций.
# Ограниченные функции
**Ограниченная снизу функция $\large f$ на множестве $\large X$** - функция, для которой существует число $\large M$, такое, что для $\large x \in X$ $\large f(x) \geq M$

**Ограниченная сверху функция $\large f$ на множестве $\large X$** - функция, для которой существует число $\large M$, такое, что для $\large x \in X$ $\large f(x) \leq M$

## Ограниченность множества

^97fd37

[[Множество]] $\LARGE A$ **ограничено сверху**, если $\LARGE \exists M: a \leq M, \forall a \in A$  ($\LARGE A \leq M$)
Множество $\LARGE A$ **ограничено снизу**, если $\LARGE \exists M: a \geq M, \forall a \in A$ ($\LARGE A \geq M$)

Множество называет **ограниченным**, если оно ограничено сверху и снизу.
$\LARGE \sup{A}$ - точная верхняя грань множества $\LARGE A$ и являющееся наименьшим из чисел $\LARGE M$, для которых $\LARGE A \leq M$:
	По [[Аксиома непрерывности|аксиоме полноты]] найдется $\LARGE c$ $\LARGE A \leq c \leq M$

$\LARGE \inf{A}$ - точная нижняя грань множества $\LARGE A$ и являющееся наибольшим из чисел $\LARGE M$, для которых $\LARGE A \geq M$
	По аксиоме полноты аналогично