#algebra 

Пусть M - какое-либо [[Множество|множество]].
Всякое подмножество $\LARGE R \subset M \times M$ называется **отношением на множестве M**.
Если $\LARGE (a,b) \in R$, то говорят, что элементы a и b находятся в отношении R, и пишут $\LARGE aRb$

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241118223231.png]]

## Отношение эквивалентности
Отношение R называется **отношением эквивалентности**, если:
1) $\LARGE aRa$ (рефлексивность)
2) $\LARGE aRb \Rightarrow bRa$ (симметричность)
3) $\LARGE aRb, bRc \Rightarrow aRc$ (транзитивность)

Записывается как $\LARGE a \sim b$. (грубо говоря отношение равенства)

**Класс эквивалентности отношения R** элемента $\LARGE a \in M$- подмножество элементов, эквивалентных $\LARGE a$, т.е.:
$\LARGE R(a)=\{b \in M \space |\space a\sim b\}$  
Из отношений эквивалентности выводится: $\LARGE a \in R(a)$, $\LARGE R(a)=R(b)$.
Два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу.

**Фактормножество множества M по отношению эквивалентности R** - множество классов эквивалентности отношения R.
Обозначается через $\LARGE M/R$.

**Отображение факторизации** - отображение $\LARGE M \rightarrow M/R, \space a \mapsto R(a)$.

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241118224545.png]]

Пусть в множестве $\LARGE M$ задана некоторая операция $\LARGE (x,y) \mapsto x *y$.
Отношение эквивалентности R в множестве M называется **согласованным с операцией $\LARGE *$**, если:
$\LARGE a \sim a', b\sim b' \Rightarrow a*b \sim a'*b'$

В этом случае на фактормножестве M/R можно определить операцию $\LARGE *$ по правилу $\LARGE R(a)*R(b)=R(a*b)$.
![[Pasted image 20241118224849.png]]