#geometry 

## Понятия
**Параллельные [[Параллельность прямых в пространстве|прямая]] и плоскость** - прямая и плоскость, не имеющие общих точек.

## Теоремы
### $\large T_1$
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости

**Доказательство:**
От противного: если бы прямая пересекала плоскость, то по лемме [[Параллельность прямых в пространстве#^b0db8a|Л1]] и другая прямая пересекала бы плоскость, что невозможно из-за условия.

### $\large T_2$
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

**Доказательство**:
Пусть есть прямая $\large a$, параллельная плоскости $\large \alpha$. Пусть через эту прямую проходит плоскость $\large \beta$, пересекающая плоскость $\large \alpha$ по прямой $\large b$. Обе прямые лежат в плоскости $\large \beta$ и не пересекаются, т.к. иначе бы прямая $\large a$ пересекала бы плоскость $\large \beta$.

### $\large T_3$
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

**Доказательство тривиально**.

### $\large T_4$
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельным двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

**Доказательство**:
Выводится из противоречия, получаемого при допущении пересечения двух плоскостей.

## Свойства параллельных плоскостей
### $\LARGE \pi_1$
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

**Доказательство тривиально**

### $\LARGE \pi_2$
Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.

**Доказательство ещё более тривиально**

## Критерий параллельности

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты в [[Уравнения плоскости|уравнениях]] при переменых $\LARGE x,y,z$ пропорциональны: $\LARGE A_2=\lambda A_1, B_2=\lambda B_1, C_2=\lambda C_1, D_2 \neq \lambda D_1$.

Две плоскости совпадаютб тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:  $\LARGE A_2=\lambda A_1, B_2=\lambda B_1, C_2=\lambda C_1, D_2 =\lambda D_1$.

НО:
Две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных $\LARGE x,y,z$ НЕ пропорциональны:
![[Pasted image 20241202015118.png]]