#physics 

# Классическая физика
## Общее определение функционала
Пусть имеется некоторое [[Множество|множество]] функций $\LARGE q(t)$, заданных на отрезке $\LARGE (t_1,t_2)$ в нашем случае эти функции - просто траектории частиц.
Мы будем считать, что эти функции достаточное число раз [[Дифференцируемая функция|дифференцируемы]].

Иногда можно добавить дополнительные условия (в нашем случае - граничные условия $\LARGE q(t_1)=q_1$, $\LARGE q(t_2)=q_2$), а можно и не накладывать
![[Pasted image 20250319234403.png]]
Тогда фукцнионал - [[Отображение|отображение]] $\LARGE S=S(\{q(t)\})$ указанного множества функций $\LARGE q(t)$ на множество [[Числовые множества|вещественных чисел]].
Иными словами, каждой функции сопоставляется определенное число. 
Функционал - аналог функции многих переменных (только число переменных стремится к бесконечности)

## Вариационная производная
Вариационные задачи обычно заключаться в нахождении такой функции $\LARGE q(t)$, которая обеспечивает минимальное (или максимальное) значение функционала $\LARGE S\{q(t)\}$. Этому требованию соответствует вариационное уровнение:
$$\LARGE \frac{\delta S}{\delta q(t)}:\space\space\frac{\partial S}{\partial q(t)}=0\space\space\space\forall t \in (t_1,t_2)$$

![[Pasted image 20250320122116.png]]

Аналогично тому, как понятие [[Производная|производной]] возникает при описании изменении функции в результате малого изменения ее аргумента, возникают вариационные производные при описании изменения функционала при малом изменении функции, являющейся его аргументом:
$$\LARGE F[x_0(t)+\Delta x(t)]=F[x_0(t)]+\int dt A(t)\space\Delta x(t)+ \frac{1}{2}\iint dt\space dt' B(t,t')\space \Delta x(t)\space\Delta x(t')+\frac{1}{6}\iiint dt\space dt' \space dt'' \space C(t, t', t'')\space\Delta x(t)\space \Delta x(t')\space\Delta x(t'')+$$
$$\LARGE +....$$
Где функция одной переменной
$$\LARGE A(t)\equiv\frac{\delta F}{\delta x(t)}$$
называется первой вариационной производной функционала $\LARGE F$,
функция двух переменных 
$$\LARGE B(t,t')\equiv\frac{\delta^2 F}{\delta x(t)\delta x(t')}$$
называется второй вариационной производной функционала и т.д.

![[Pasted image 20250320163153.png]]

![[Pasted image 20250320163346.png]]
![[Pasted image 20250320163356.png]]

Тогда условие экстремума функции $\LARGE S[q]$ можно записать в виде системы $\LARGE K$ уравнений:
![[Pasted image 20250320163425.png]]
![[Pasted image 20250320180537.png]]
([[Квадратичная форма]])


![[Pasted image 20250320180607.png]]


![[Pasted image 20250501224642.png]]
![[Pasted image 20250501224713.png]]
ИЛИ
![[Pasted image 20250501224736.png]]


## Частные случаи
### Локальный во времени функционал
![[Pasted image 20250329180856.png]]

![[Pasted image 20250329181056.png]]
![[Pasted image 20250329181109.png]]

### Квадратичный нелокальный во времени функционал
![[Pasted image 20250329181144.png]]

### Функционал, зависящий от координат и скоростей
![[Pasted image 20250329181208.png]]
([[Уравнение Эйлера-Лагранжа]])
![[Pasted image 20250329181240.png]]

Где $\LARGE L$ - [[Лагранжиан]]
### Функционал, зависящий от координат, скоростей и ускорений
![[Pasted image 20250329181709.png]]

### Условный функционал
![[Pasted image 20250330173310.png]]
([[Максимум и минимум функции]])

только там плюс

#### Дополнение на несколько условий
Пусть есть $\LARGE n$ условий $\LARGE g_i (x,y)=0$, тогда для поиска условного экстремума $\LARGE f(x,y)$ при всех $\LARGE g_i=0$ нужно искать экстремум
$$\LARGE f^*=f+\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_ig_i$$
где $\LARGE \lambda_i$ - множители Лагранжа.

Аналогично для вариационного исчисления:
Для минимизации функционала $\LARGE F[y]$ на пространстве функций, ограниченных условием $\LARGE G[y]=0$, нужно минимизировать функционал
$$\LARGE F^*=F[y]+\lambda(x)G[y]$$
$$\LARGE F^*[y]=\int_{x_1}^{x_2}dx(f(x,y,y')+\lambda(x)g(x,y,y'))$$
что сводится к системе двух уравнений
$$\LARGE \frac{d}{dt}[\frac{\partial f}{\partial y'}+\lambda \frac{\partial g}{\partial y'}]=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial g}{\partial y}$$
$$\LARGE \frac{\partial F^*}{\partial \lambda}=0$$

### Функционал с добавкой
![[Pasted image 20250601210413.png]]
(если решать уравнения Эйлера-Лагранжа для $\LARGE L'$ то вклады от функции зануляются)



# Релятивистская физика
## Определение действия
Определеим интегра действия для свободного материальной частицы:
- интеграл должен быть инвариантом относительно [[Преобразование Лоренца|преобразований Лоренца]], то есть должен быть взят от скаляра - [[Интервал|интервала]]
- пол интегралом должны стоять дифференциалы в первой степени

Единственный такой скаляр - интервал $\LARGE ds$ или $\LARGE \alpha ds$, где $\LARGE \alpha$ - некоторая постоянная.

Тогда:

$$\LARGE S=-\alpha \displaystyle\int_a^b ds$$
где интеграл берется вдой мировой линии между двумя заданными событиями $\LARGE a$ и $\LARGE b$ - нахождением частицы в начальном и конечном местах в определенные моменты времени $\LARGE t_1$ и $\LARGE t_2$.

$\LARGE \alpha$ должна быть положительна:
![[Pasted image 20260130202504.png]]
![[Pasted image 20260130202515.png]]

В виде интеграла времени действие представляется как:
$$\LARGE S=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Ldt$$
где $\LARGE L$ - [[Лагранжиан|лагранжиан]]. Помня, как раскрывается интервал, находим:

$$\LARGE S=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\alpha c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$$
где $\LARGE v$ - скорость материальной частицы. Тогда лагранжиан для частицы есть:
![[Pasted image 20260130202648.png]]

Найдем связь между $\LARGE \alpha$ и m: при пределеьном переходе $\LARGE c \rightarrow \infty$ выражение для $\LARGE L$ должно перейти в классическое выражение $\LARGE L=\frac{mv^2}{2}$ 
![[Pasted image 20260130202737.png]]

Опустив постоянный член $\LARGE \alpha c$ и сравнив с классическим выражением лагранжиана, находим, что
$$\LARGE \alpha=mc$$

Тогда:
![[Pasted image 20260130202823.png]]
![[Pasted image 20260130202830.png]] ^871302