#physics 

## Для [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]]
$$\LARGE \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2f(t, \vec{r})}{\partial t^2}-\nabla^2f(t, \vec{r})=0$$
где под $\LARGE f$ имеются в виду компонента $\LARGE \vec{E}$ или $\LARGE \vec{H}$ 

### Вывод из уравнений Максвелла
Если из [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]] взять ротор роторов, а затем исключить магнитное поле. то мы получим волновое уравнение для [[Напряженность электрического поля|напряженности электрического поля]]:
$$\LARGE \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}-\Delta\textbf{E}=0$$
где $\LARGE \Delta \textbf{E}$ - [[Лапласиан]], $\LARGE v=c/n$ - скорость света в среде, а $\LARGE n=\sqrt{\varepsilon\mu}$ - [[Показатель преломления|показатель преломления]] среды.

Аналогичное уравнение получается и для [[Напряженность магнитного поля|напряженности магнитного поля]]:
$$\LARGE \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\textbf{H}}{\partial t^2}-\Delta\textbf{H}=0$$

### Решение
Будет искать решение, зависящее только от одной координаты $\LARGE x$, в следующем виде:
$$\LARGE \textbf{E}(x,t)=\textbf{E}_1\cos(kx-\omega t+\varphi_1)$$

Иногда применяется комплексное представление:
$$\LARGE \textbf{E}(x,t)=\textbf{E}_0\exp[i(kx-\omega t)]$$
где $\LARGE \textbf{E}_0=\textbf{E}_1\exp(i\varphi_1)$ называется **комплексной амплитудой**.

Подставив комплексное представление в волновое уравнение, получаем:
$$\LARGE k=\frac{\omega}{v}=\frac{\omega}{c}n$$
Решение называется **бегущей волной**.
Величина $\LARGE \omega$ называется **(круговой) частотой** волны, а величина $\LARGE \nu=\frac{\omega}{2\pi}$ - **циклической частотой**.
Соответственно период $\LARGE T=\frac{1}{\nu}=\frac{2\pi}{\omega}$
Число $\LARGE k$ называется **волновым числом**.

Величина
$$\LARGE \varphi=kx-\omega t$$
называется **[[Гармонические колебания|фазой]] волны**.

Если записать фазу в виде $\LARGE \varphi=k(x-vt)$ увидим, что точки волны, имеющие фиксированное значение фазы $\LARGE \varphi=\text{const}$, движутся со скоростью 
$$\LARGE v=\omega/k=c/n$$
Это **фазовая скорость волны**


Длина волны:
$$\LARGE \lambda=vT=\frac{c}{n\nu}=\frac{2\pi c}{n\omega}$$

Длина волны связана с волновым числом:
$$\LARGE k=2\pi/\lambda$$

#### Обобщение на трехмерный случай
$$\LARGE \textbf{E}(\textbf{r}, t)=\textbf{E}_0 \exp[i(\textbf{k}\textbf{r}-\omega t)]$$
$$\LARGE \textbf{E}(\textbf{r}, t)=\textbf{E}_0 \exp[i\textbf{k}(\textbf{r}-\textbf{v}t)]$$

Отсюда:
$$\LARGE \omega = \textbf{k}\textbf{v}$$
где $\LARGE \textbf{k}$ называется **волновым вектором** (волновой вектор)

Введем единичный вектор $\LARGE \textbf{s}, |\textbf{s}|=1$, направленный вдоль волнового вектора. Тогда:
$$\LARGE \textbf{k}=\frac{\omega}{c}n\textbf{s}$$

В стационарных волновых процессах с определенной частотой $\LARGE \omega$ обычно опускают множитель с $\LARGE \omega$:
$$\LARGE \textbf{E}=\textbf{E}_0e^{i\textbf{kr}}$$