#algebra 

**[[Бесконечно малая функция|Бесконечно малая]] последовательность $\large \alpha_n$** - такая последовательность, что для любого $\large \epsilon >0$ найдется такой луч $[N; +\infty]$, что для всех содержащихся в последовательности натуральных чисел $\large n$ выполнено неравенство $\large |\alpha_n|<\epsilon$.

**[[Бесконечно большая функция|Бесконечно большая]] последовательность $\large a_n$** - последовательность, такая, что обратная ей последовательность $\large \frac{1}{a_n}$ бесконечно мала.

**[[Предел]] последовательности** - число $\large a$ такое, что последовательность $\large a_n-a$ бесконечно мала.

Пишут: 
$$\large \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$$

# Теоремы
[[Теоремы, связанные с понятием предела#^7ea6d2]]
# Примеры
![[Pasted image 20220815165914.png]]


## Сходимость последовательности

^52b8bb

Последовательность чисел $\LARGE x_n$ называют **сходящейся к числу $\LARGE x$**, называемому пределом последовательности $\LARGE \{x_n\}$, если для каждого $\LARGE \epsilon > 0$ найдется такой номер $\LARGE N_\epsilon$, что $\LARGE |x-x_n|<\epsilon$ при всех $\LARGE n \geq N_\epsilon$ .

### Свойства сходящихся последовательностей
![[Pasted image 20241027164329.png]]![[Pasted image 20241027165623.png]]

Т.н. "лемма о двух милиционерах" ([[Теоремы, связанные с понятием предела#^1d294e]]):

> Если две последовательности $\LARGE \{x_n\}, \{y_n\}$ сходятся к числу $\LARGE a$ и $\LARGE \{z_n\}$ такова, что $\LARGE x_n \leq z_n \leq y_n$, то $\LARGE z_n \rightarrow a$.

![[Pasted image 20241031222043.png]]

## Примеры
### Число к экспоненте
$$\LARGE \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{A^n}=0$$
![[Pasted image 20241104171719.png]]
(используется [[Подпоследовательность#^f73982]])

Также:
$$ \LARGE \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^k}{A^n}=0, \forall k$$
![[Pasted image 20241104171953.png]]