#geometry 

> Если все [[Углы в пространстве|плоские углы]] при одной из вершин [[Тетраэдр|тетраэдра]] - прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.

Доказательство:
![[Pasted image 20230306202536.png]]
Рассмотрим тетраэдр OABC, в котором L AOB = L BOC = L COA = 90 (L - угол). Пусть $\LARGE S_C$, $\LARGE S_A$, $\LARGE S_B$, $\LARGE S$ - площади треугольников OAB, OBC, OCA, ABC; $\LARGE \alpha, \beta, \gamma$ - величины двугранных углов с ребрами AB, BC, CA; D- проекция точки O на плоскость грани ABC.
Треугольники OAB, OBC и OCA яявляются проекциями треугольника ABC, поэтому $\LARGE S_C = S\cdot \cos{\alpha}$, $\LARGE S_A = S\cdot \cos{\beta}$, $\LARGE S_B = S\cdot \cos{\gamma}$ (докажи сам).
Треугольники ABD, BCD, CAD являются проекциями треугольников OAB, OBC, OCA на плоскость грани ABC, причем сумма их площади равна площади S треугольника ABC. Поэтому:
$$\LARGE (S\cdot \cos{\alpha})\cdot\cos{\alpha}+(S\cdot \cos{\beta})\cdot\cos{\beta}+(S\cdot \cos{\gamma})\cdot\cos{\gamma}=S\cdot(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma})=S$$
Тогда сумма квадратов косинусов двугранных углов равна 1, поэтому:

$$\huge S_C^2+S_A^2+S_B^2=S^2\cdot(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma})=S^2$$

ч.т.д