#algebra 

**Алгебра над [[Алгебраическое поле|полем]] $\LARGE K$** - [[Множество|множество]] $\LARGE A$ с операциями сложения, умножения и умножения на элементы поля $\LARGE K$, со следующими свойствами:
1) относительно сложения и умножения на элементы поля A есть [[Векторное пространство|векторное пространство]]
2) относительно сложения и умножения $\LARGE A$ есть [[Кольцо|кольцо]]
3) $\LARGE (\lambda a)b=a(\lambda b)=\lambda (ab)$ для любых $\LARGE \lambda \in K, \space a,b \in A$

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241120233755.png]]

## Свойства
Пусть $\LARGE \{e_1, e_2, ..., e_n\}$ - [[Базис|базис]] алгебры $\LARGE A$, а $\LARGE a=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i e_i$ и $\LARGE b=\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i e_i$ - два проивзольных элемента алгебры
Отсюда из дистрибутивности умножения относительно сложения и свойства 3) в определении алгебры следует:
![[Pasted image 20241120234823.png]]

ТОГДА:
Если умножение базисных векторов коммутативно: $\LARGE e_i e_j = e_j e_i, \space \forall i,j$, то и умножение в алгебре А коммутативно:
![[Pasted image 20241120234919.png]]

Аналогично доказывается, что если умножение базисных векторов ассоциативно: $\LARGE (e_i e_j) e_k =e_i (e_j e_k), \space \forall i,j,k$,  то умножение в алгебре A в целом ассоциативно

![[Pasted image 20241120235259.png]]

>[!Примеры]
>![[Pasted image 20241120235424.png]]
>![[Pasted image 20241120235436.png]]
>![[Pasted image 20241120235533.png]]

## Подмножество и [[Изоморфизм|изоморфизм]]
Подмножество алгебры называется **подалгеброй**, если оно одновременно является подпространством и подкольцом.

Отображение алгебр называется изоморфизмом, если оно является одновременно изоморфизмом векторных пространств и колец.