#algebra 

**Производная функции $\large f$** - функция $\large f^{'}$, значение которой в точке $\large x$ выражается формулой:
$$\large \displaystyle f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Могут быть вторые производные (производные производных) и так далее:
![[Pasted image 20220908141055.png|900]]![[Pasted image 20220908141058.png|900]]

## Дифференциал
![[Pasted image 20220906155656.png|800]]
Слагаемое $\large f^{'}(a)h$ называют **дифференциалом** - линейным приращением функции - и обозначают $\large df$:
$$\large df=f'(a)h=f'(x)dx$$
![[Pasted image 20220906160227.png|800]]
## Частные случаи
![[Pasted image 20220904133328.png|800]]
![[Pasted image 20220904133337.png|800]]
![[Pasted image 20220907173108.png|900]]
![[Pasted image 20220907173118.png|900]]
![[Pasted image 20220907173135.png|900]]
![[Pasted image 20220907173141.png|900]]
![[Pasted image 20220908140752.png|900]]
![[Pasted image 20220908140801.png|900]]
![[Pasted image 20220908140831.png|900]]
![[Pasted image 20220908140837.png|900]]
![[Pasted image 20220908140914.png|900]]
![[Pasted image 20220908140920.png|900]]
![[Pasted image 20220908141012.png|900]]
![[Pasted image 20220908141023.png|900]]
![[Pasted image 20230619131327.png|900]]
![[Pasted image 20230619131359.png]]
### Вывод для суммы, произведения и частного функций, а также их композиции
![[Pasted image 20241203213754.png]]
![[Pasted image 20241203213806.png]]

Формула дифференцирования произведения называется **формулой Лейбница**

Для композиции:
![[Pasted image 20241203214548.png]]
### Экспонента


$$\LARGE \frac{de^x}{dx}=e^x$$
Потому что:
$$\LARGE de^x=\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}(e^{x+h}-e^x)=e^x\cdot(e^h-1)$$
Используя [[Ряд Тейлора]] для функции $\LARGE e^x$ при $\LARGE a=0$:
$$\LARGE e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...$$
Поэтому $$\LARGE \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^x(e^h-1)}{h}=e^x\cdot1=e^x$$
Аналогично выводятся производные для $\LARGE \sin{x}$ и $\LARGE \cos{x}$.

### Для гиперболических тригонометрических функций
$$\LARGE \sinh'(x)=\cosh{x}$$
$$\LARGE \cosh'(x)=\sinh{x}$$
$$\LARGE \tanh'(x)=\frac{1}{\cosh^2x}$$
$$\LARGE \coth'(x)=-\frac{1}{\sinh^2x}$$
### Обратной функции
Пусть $\LARGE y=f(x)$ на промежутке X - обратна к [[Непрерывная функция|непрерывной]] и возрастающей $\LARGE x=\phi(y)$ на промежутке Y, причем концы промежутка Y удовлетворяют $\LARGE y=f(x)$.
Тогда:
$$\LARGE f'(x)=\frac{1}{\phi'(y)}$$

![[Pasted image 20241004210148.png]]
>[!Example]-
>![[Pasted image 20241004210320.png]]

>[!Example]-
>![[Pasted image 20241004210700.png]]
#### Теорема о дифференцируемости обратной функции
Пусть $\LARGE f$ - дифференцируемая на интервале $\LARGE (a,b)$ функция, причем её производная $\LARGE f'$ непрерывна и в некоторой точке $\LARGE x_0 \in (a,b)$ имеем $\LARGE f'(x_0)\neq 0$ (скажем, $\LARGE f'(x_0)>0$). Тогда $\LARGE f'(x)>0$ в некоторйо окрестности точки $\LARGE x_0$, что в силу [[Теорема Лагранжа о среднем значении|теоремы о среднем]] дает строгое возрастание $\LARGE f$ в некотором интервале $\LARGE (x_0-r, x_0+r)$ с достаточно малым $\LARGE r>0$. Тогда на интервале $\LARGE (f(x_0-r),f(x_0+r))$ определена непрерывная обратная функция $\LARGE f^{-1}$

![[Pasted image 20241207025303.png]]
![[Pasted image 20241207025359.png]]

## Смысл
### Физический
![[deriv.mp4]]
### Геометрический
![[Pasted image 20220907172504.png|800]]
![[Pasted image 20220907172519.png|900]]
![[Pasted image 20220907172537.png|900]]
![[Pasted image 20220907172643.png|900]]
#### Теорема
![[Pasted image 20220907172722.png|900]]
![[Pasted image 20220907172740.png|900]]
![[Pasted image 20220907172800.png|800]]
$$\LARGE y=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)$$
## Применение
![[Максимум и минимум функции]]
## Примеры
![[Pasted image 20220904133348.png|980]]
![[Pasted image 20220904133400.png|900]]
![[Pasted image 20220906155714.png|900]]
![[Pasted image 20220907172806.png|900]]
![[Pasted image 20220907173210.png|900]]
![[Pasted image 20220908140814.png|900]]
![[Pasted image 20220908140821.png|900]]
![[Pasted image 20220908140854.png|900]]
## Теоремы
### $\LARGE T_1$ о производной и неравенствах
![[Pasted image 20221229104945.png|900]]
**Доказательство**:
![[Pasted image 20221229105125.png]]
![[Pasted image 20221229105136.png]]
Аналогично доказывается для $\LARGE f^{``}(x)<0$

### [[Теорема Лагранжа о среднем значении]]

### [[Теорема Ролля]]