#algebra 

**Дельта-функция Дирака** $\LARGE \delta(t)$ - такая функция, что:
$$\LARGE \delta(t)=0, \space \space t\neq0$$
$$\LARGE \delta(t)\rightarrow \infty, \space\space t=0$$
$$\LARGE \int dt \space \delta(t)=1$$

![[Pasted image 20250521204141.png]]

Рассмотрим интеграл:
![[Pasted image 20250521220645.png]]
Значение легко получается, если разбить область интегрирования на интервалы $\LARGE (-\infty, 0)$ и $\LARGE (0, \infty)$, на каждом из которых все легко берется
Применяя 6.2 и устремляя $\LARGE \epsilon$ к нулю, получаем:

$$\LARGE \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dt \space e^{i\omega t}=2\pi \delta(\omega)$$
(6.3)

Беря [[Комплексные числа|действительную]] и мнимую части соотношения 6.3, находим:
![[Pasted image 20250521220858.png]]

Так как значение $\LARGE \delta(t)$ отлично от нуля только при $\LARGE t=0$, то для любой [[Непрерывная функция|непрерывной]] функции $\LARGE f(t)$ справедливо:
$$\LARGE \delta(t)f(t)=\delta(t)f(0)$$
Обобщая:
$$\LARGE \delta(t-s)f(t)=\delta(t-s)f(s) $$
Интегрируя, находим:
$$\LARGE \displaystyle\int dt\space\delta(t-s)f(t)=f(s)$$
это наиболее важное свойство дельта-функции: **фильтрующее свойство**
(6.5)

## [[Производная|Производные]] и [[Первообразная|первообразные]]
Первообразная - [[Функция Хевисайда]]

Производная:
![[Pasted image 20250521224249.png]]
![[Pasted image 20250521224309.png]]

Подставляя теперь $\LARGE f(t)=(t-s)g(t)$ и сравнивая результат с фильтрующим свойством, п олучаем:
![[Pasted image 20250521224425.png]]
![[Pasted image 20250521224435.png]]

Раскладывая теперь $\LARGE f(t)$ в [[ряд Тейлора]] до первого порядка вблизи $\LARGE t=s$:
![[Pasted image 20250521224521.png]]

Аналогично можно ввести и более высокие производные от дельта-функции

Производная функции со скачком в точке $\LARGE s$:
![[Pasted image 20250521225330.png]]

## Дельта-функция от произвольной функции
![[Pasted image 20250521225758.png]]