#physics 


## Свободной материальной частицы
Лагранжиан свободной материальной частицы может зависеть только от ее скорости, точнее от ее модуля. При этом переход от одной ИСО к другой может приводить только к такому изменению лагранжиана, которое выражается в прибавлении к нему полной производной (см. [[Функционал]]).
Этому удовлетворяет $\LARGE L=\text{const}\cdot v^2$ 
Действительно:
![[Pasted image 20250601211516.png]]

Итак:
$$\LARGE L_{\text{free}}=\frac{mv^2}{2}$$
## Системы взаимодействующих частиц
Если система состоит из двух НЕ взаимодействующих между собой частей $\LARGE A$ и $\LARGE B$, то их лагранжиан аддитивен:
$$\LARGE L=L_A+L_B$$
В частности, для системы невзаимодействующих свободных частиц:
$$\LARGE L_{\text{free}}=\sum_i\frac{m_iv_i^2}{2}$$


При наличии взаимодействия:
$$\LARGE L=\sum_{i=1}^s\frac{m_iv_i^2}{2}-U(\textbf{r}_1, \textbf{r}_2,...,\textbf{r}_s)$$

Где $\LARGE U$ - потенциальная энергия, а $\LARGE T \equiv \sum_{i=1}^s \frac{m_iv_i^2}{2}$ - кинетическая энергия

При использовании обобженных координат кинетическая энергия остается квадратичной формой обобщенных скоростей, но при этом масса становится матрицей, к тому же еще и зависящей от координат:
![[Pasted image 20250601212110.png]]
![[Pasted image 20250601212709.png]]

Подставив лагранжиан в [[уравнение Эйлера-Лагранжа]], получаем, что второй закон Ньютона действительно работает.
![[Pasted image 20250601213251.png]]

![[Pasted image 20250601213537.png]]