#algebra 

Трансцендентные уравнения - уравнения, решения которых крайне редко удается получить в явном виде.
## Уравнение с малым параметром
$$\LARGE F(x)=\varepsilon G(x)$$где $\LARGE \varepsilon$ - параметр 1-го порядка малости.

Тогда обозначаем через $\LARGE x_0$ решение уравнения $\LARGE F(x)=0$/
Найдем первую поправку к $\LARGE x_0$ по $\LARGE \varepsilon$, которую мы обозначим $\LARGE x_1$, через разложение в ряд Тейлора:
$$ \LARGE F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)=\varepsilon(G(x_0)+G'(x_0)(x-x_0))$$
но т.к. $\LARGE x=x_0+x_1$:

$$ \LARGE F(x_0)+F'(x_0)(x_1)=\varepsilon(G(x_0)+G'(x_0)(x_1))$$
используем факт того, что нам нужно, чтобы слева и справа были величины не более чем 1 порядка малости, и отбрасываем остальное:
$$ \LARGE F(x_0)+F'(x_0)x_1=\varepsilon G(x_0)$$
отсюда находим $\LARGE x_1$
Далее:
$\LARGE x=x_0+x_1$, 
$$ \LARGE F(x_0)+F'(x_0)(x_1+x_2)+\frac{F''(x_0)}{2}(x_1+x_2)^2=\varepsilon(G(x_0)+G'(x_0)(x_1+x_2))$$
действуем аналогично:
$$\LARGE F(x_0)+F'(x_0)x_1+F'(x_0)x_2+\frac{F''(x_0)}{2}x_1^2=\varepsilon G(x_0)+\varepsilon G'(x_0)x_1$$
но используя предыдущие уравнения для упрощения вычислений:
$$\LARGE F'(x_0)x_2+\frac{F''(x_0)}{2}x_1^2=\varepsilon G'(x_0)x_1$$
отсюда находим $\LARGE x_2$.

Дальнейшие поправки аналогично

>[!Замечание]
>![[Pasted image 20250126075300.png]]

## Метод итераций
Если уравнения для переменной $\LARGE x$ записывается в виде $\LARGE x=f(x)$, то $\LARGE x$ можно искать методом итераций:
- Выберем начальное приближение $\LARGE x_0$ на глазок
- Построим [[Предел последовательности|последовательность]] $\LARGE \{x_k\}$ согласно $\LARGE x_{k+1}=f(x_k)$
- Если при этом $\LARGE \displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty} x_k=\bar{x}$, то $\LARGE \bar{x}$ является решением уравнения
Криетрий [[Реакции органических соединений|сходимости]]: $\LARGE |x_k - x_{k-1}| << x_{k-1}$ 

![[Pasted image 20250126080701.png]]

Если же процесс не сходится, то можно решать итерациями уравнение
$$ \LARGE x=\frac{1}{p+1}[px+f(x)]$$
эквивалентное $\LARGE x=f(x)$
Можно надеяться, что при **достаточно большой** $\LARGE p$ стоящая в правой части комбинация $\LARGE px+f$ станет монотонно растущей функцией, что обеспечит сходимость итерационной процедуры.

## Метод градиентного спуска