#algebra 

# Функция одной переменной
## Старое определение
**Непрерывная в точке $\large a$ [[Числовая функция|функция]]** - функция $\large f$ такая, что она имеет значение в этой точке и разность $\large f(x)-f(a)$ [[Бесконечно малая функция|бесконечно мала]] при $\large x\rightarrow a$.

![[Pasted image 20220826144908.png]]

Также рассматривают **одностороннюю непрерывность**:

![[Pasted image 20220826144943.png]]

**Непрерывная на промежутке $\large X$ функция $\large f$** - функция, непрерывная во всех точках этого промежутка, и имеющая одностороннюю непрерывность на его концах

## Новое определение
Функция $\LARGE f$, заданная на множестве $\LARGE E \subset \mathbb{R}$, называется **непрерывной** **в точке** $\LARGE x_0 \in E$, если для каждой [[Предел последовательности|последовательности]] точек $\LARGE x_n \in E$, сходящейся 
к $\LARGE x_0$ верно, что $\LARGE f(x_0)=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)$.
**Непрерывной** называется функция, непрерывная в каждой точке области определения.
Это **определение непрерывности по Гейне**

Непрерывность функции $\LARGE f$ на множестве $\LARGE E$ в точке $\LARGE x_0 \in E$ равносильна **$\LARGE (\epsilon,\delta)$- определению**: для каждого $\LARGE \epsilon > 0$ найдется такое $\LARGE \delta=\delta_\epsilon >0$, что $\LARGE |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ для всех таких $\LARGE x \in E$, что $\LARGE |x-x_0|<\delta$.
Это **определение непрерывности по Коши**

Функция, одинаково непрерывная во всех точках области определения, называеся **равномерно непрерывной**
![[Pasted image 20250224035757.png]]

## Свойства из нового определения
О арифметике непрерывностей:
![[Pasted image 20241111201304.png]]

О непрерывности композиции:
![[Pasted image 20241111201401.png]]

### Расширенная теорема Больцано-Коши
![[Pasted image 20241111201653.png]]
![[Pasted image 20241111201705.png]]
![[Pasted image 20241111201714.png]]


![[Теоремы, связанные с непрерывными на промежутке функциям]]

## Связанные понятия
**Точка разрыва** - точки, в которых нарушается непрерывность функции.

Причины возникновения точек разрыва:
![[Pasted image 20220902212051.png|800]]
![[Pasted image 20220902212104.png|800]]

Точка разрыва первого рода - условие непрерывности нарушено, но одноросторонние пределы конечны
![[Pasted image 20250202003035.png]]
(на картинке **устранимый разрыв** - можно доопределить функцию)

Точка разрыва первого рода со скачком - дополнительно односторонние пределы различны
![[Pasted image 20250202003123.png]]

Точка разрыва второго рода - бесконечный разрыв
![[Pasted image 20250202003244.png]]
## Теоремы
### Th1
![[Pasted image 20220826144951.png|800]]
### Th2
![[Pasted image 20220902211814.png|800]]
![[Pasted image 20220902211834.png|800]]
### Th3
![[Pasted image 20220902211856.png|800]]
Доказывается через [[Теоремы, связанные с понятием предела#^43bef0]]
![[Pasted image 20220902212033.png|800]]


### Теорема Кантора
Непрерывная на отрезке $\LARGE [a,b]$ функция равномерно непрерывна на $\LARGE [a,b]$ 
# Функция нескольких переменных
Функция $\LARGE z=f(x,y)$ непрерывна в точке $\LARGE M_0 (x_0, y_0)$, если ее общий [[Предел|предел]] в этой точке равен значению функции в данной точке:
$$\LARGE \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0, \space y\rightarrow y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

Алгоритм проверки:
1) существование функции в данной точке
2) существование предела в данной точке
3) равны ли значение функции и предела