#algebra 

**Группа** - [[Множество|множество]], которое [[Отображение|отображает]] элемент этого множества к каждой паре элементов этого множества и для которого выполняются 3 свойства: 1) отображение ассоциативно; 2) группа имеет [[Real numbers|нейтральный элемент]]; 3) каждый элемент множества имеет [[Обратный элемент|обратный элемент]]

>[!Пример]
>$\LARGE \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ - группа $\LARGE (\mathbb{Z},+)$


## Подгруппы [[Абелева группа|абелевых групп]]
Если $\LARGE M$ - множество с операцией $\LARGE \circ$ и $\LARGE N$ - какое-либо его подмножество, то $\LARGE N$ **замкнуто относительно операции $\LARGE \circ$**, если:
$$\LARGE a,b \in N \rightarrow a \circ b \in N$$


Подмножество $\LARGE B$ аддитивной абелевой группы $\LARGE A$ называется **подгруппой**, если:
1) $\LARGE B$ замкнуто относительно сложения
2) $\LARGE a \in B \rightarrow -a \in B$
3) $\LARGE 0 \in B$

Подмножество $\LARGE B$ мультипликативной абелевой группы $\LARGE A$ называется **подгруппой**, если:
1) $\LARGE B$ замкнуто относительно умножения
2) $\LARGE a \in B \rightarrow a^{-1} \in B$
3) $\LARGE 1 \in B$