#algebra 

## Первого порядка
Диффур первого порядка - уравнение вида
$$\LARGE \frac{dx}{dt}=f(t,x)$$
где dx/dt - [[Производная]].

Уравнение однозначно определяет зависимость $\LARGE x$ от $\LARGE t$, если даны начальные условия (например значение $\LARGE x=x_0$ в момент времени $\LARGE t=t_0$)

Нахождение решения диффура, удовлетворяющего начальным условиям, называется **задачей Коши**

### Разделение переменных
Иногда $\LARGE f(t,x)$ можно представить в виде $\LARGE f(t,x)=g(t)/h(x)$.
Тогда диффур преобретает вид:
$$\LARGE h(x)\frac{dx}{dt}=g(t)$$
Если $\LARGE H(x)$ - [[Первообразная|первообразная]] $\LARGE h(x)$, а $\LARGE G(t)$ - первообразная $\LARGE g(t)$, то:
$$\LARGE \frac{d}{dt}[H(x)-G(t)]=0$$
Отсюда решение:
$$\LARGE H(x)=G(t)+C$$
где $\LARGE C$ определяется начальными условиями

т.е.:
$$\LARGE \int h(x)dx=\int g(t)dt$$


В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть приведено к виду, допускающему разделение переменных, путем преобразования переменных.
Например, уравнение $\LARGE \frac{dx}{dt}=f(x+t)$ после перехода к переменной $\LARGE \xi=x+t$ приобретает вид $\LARGE \frac{d \xi}{dt}=1+f(\xi)$. 

### Однородные диффуры
Дифференциальное уравнение называется однородным, если вместо $\LARGE x$ можно подставить $\LARGE \lambda x$, а вместо $\LARGE y$ - $\LARGE \lambda y$ (ПРОИЗВОДНЫЕ НЕ ТРОГАЕМ), и в результате преобразований все лямбды сокаращются и получается исходное уравнение.

В таком случае универсальная замена: $\LARGE y=t(x)\cdot x$,  почти всегда пишут коротко: $\LARGE y=tx$, и $\LARGE y'=t'x+t$. После данной замены гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример:
$$\LARGE xy'=y-xe^{\frac{y}{x}}$$
Однородное (проверяется подставкой), значит делаем стандартную замену:
$$\LARGE x(t'x+t)=tx-xe^{\frac{tx}{x}}$$$$\LARGE t'x=-e^t$$
что легко решается разделением переменных

>[!Важное замечание]
>![[Pasted image 20241223165548.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241223174041.png]]
>![[Pasted image 20241223174109.png]]
>![[Pasted image 20241223174130.png]]

Если решение не входит, то его надо прописывать дополнительно!
(если мы делим на $\LARGE dx$, то это тоже считается потенциально упущенным решением!!!)

### Сводящиеся к однородным/разделяющимся диффуры
Диффур вида $$\LARGE y'=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$$
Если $\LARGE |\matrix{a_1 & b_1 \\ a_2 & b2}| \neq 0$, то данное ДУ приводится к однородному уравнению, если $\LARGE |\matrix{a_1 & b_1 \\ a_2 & b2}| = 0$, то - к уравнению с разделяющимися переменными.

#### Детерминант не равен 0
Найти решения системы уравнений, заданной числителем и знаменателем, и провести замену $\LARGE x=X+\alpha$, $\LARGE y=Y+\beta$, где альфа и бета - решения системы уравнений.

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241223192318.png]]
>![[Pasted image 20241223192339.png]]

и далее

#### Детерминант равен 0
Либо сразу разделяем переменные, либо с помощью одной из замен $\LARGE a_1x+b_1y=z$, $\LARGE a_2x+b_2y=z$

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241223202742.png]]
>и далее