#algebra 

**Дифференцируемая в точке $\large a$ функция $\large f$** - функция, [[Приращение функции|приращение]] которой при переходе от $\large a$ к $\large a+h$ можно представить в виде:
$$\large f(a+h)-f(a)=(k+\alpha)h$$, где k - число, а функция $\large \alpha$ бесконечно мала при $\large h \rightarrow 0$.

![[Pasted image 20220904133416.png|800]]

### Определение наоборот
![[Pasted image 20241203205905.png]]
Это равносильно:
$$\LARGE f(x_0+h)-f(x_0)=Lh+r(h), \space \displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{h}=0$$
Где часто пишут $\LARGE r(h)=o(h)$ и называют $\LARGE r(h)$ **о-маленьким от $\LARGE h$**.
Ясно, что в уравнении $\LARGE f'(x_0)=L$

Смысл: при фиксированном $\LARGE x_0$ приращение как функция $\LARGE h$ записывается как линейная функция с точностью до "малых более высокого порядка", такое определение удобно для производных в [[Размерность пространства|многомерных или бесконечномерных пространствах]].
## Теоремы
### Теорема о дифференцируемости функции при наличии [[Производная|производной]]
![[Pasted image 20220904131723.png|800]]
![[Pasted image 20220904131737.png|900]]

### Теорема о [[Непрерывная функция|непрерывности]] функции при её дифференцируемости
![[Pasted image 20220907172944.png|900]]
![[Pasted image 20220907173015.png|900]]
**ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО**

Из дифференцируемости следует непрерывность:
$$\LARGE f(x_0+h)-f(x_0)=Lh+r(h), \space \displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{h}=0$$
по Коши и [[Условие Липшица|условию Липшица]]
## Примеры
![[Pasted image 20220904131608.png|800]]
![[Pasted image 20220904131616.png|800]]
![[Pasted image 20220907173038.png|900]]