#algebra 

Пусть $\LARGE M$ - [[Множество|множество]] с операцией $\LARGE \circ$, а $\LARGE N$ - множество с операцией $\LARGE \star$. Тогда [[Группа|группы]] $\LARGE (M, \circ)$ и $\LARGE (N, \star)$ **изоморфны**, если существует такое [[Биекция|биективное]] [[Отображение|отображение]] $\LARGE f: M \rightarrow N$, что $\LARGE f(a\circ b)=f(a) \star f(b)$ для любых $\LARGE a, b \in M$.

Обозначается $\LARGE (M, \circ) \cong (N, \star)$ 
Само отображение $\LARGE f$ называется **изоморфизмом** структур $\LARGE (M, \circ)$ и $\LARGE (N, \star)$.

>[!Пример]
>$\LARGE f: a \rightarrow 2^a$ - изоморфизм множества всех вещественных чисел с операцией сложения и множества положительных чисел с операцией умножения, поскольку $\LARGE 2^{a+b}=2^a 2^b$

## Свойства
Если операция $\LARGE \circ$ в множестве $\LARGE M$ коммутативна, то если структура $\LARGE (M, \circ)$ изоморфна структуре $\LARGE (N, \star)$, то и операция $\LARGE \star$ в множестве $\LARGE N$ коммутативна.

# Изоморфизм [[Векторное пространство|векторных пространств]]

^2c0a33

Векторные пространства $\LARGE V$ и $\LARGE U$ над [[Алгебраическое поле|полем]] $\LARGE K$ называются **изоморфными**, если существует такое биективное отображение $\LARGE \phi : V \rightarrow U$, что:
1) $\LARGE \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ для любых $\LARGE a,b \in V$
2) $\LARGE \phi(\lambda a)=\lambda \phi(a)$ для любых $\LARGE \lambda \in K, a \in V$

Само отображение $\LARGE \phi$ называется при этом изоморфизмом пространств $\LARGE V$ и $\LARGE U$