#algebra 

Пусть n - фиксированное натуральное число.
Рассмотрим в множестве целых чисел [[Отношение на множестве|отношение]] сравнимости по модулю n:

$\LARGE a \equiv b \pmod{n}$ 

Очевидно, что это [[Отношение на множестве|отношение эквивалентности]]

Класс эквивалентности, содержащий целое число $\LARGE a$, называется **вычетом числа a по модулю n** и обозначается через $\LARGE [a_n]$.

Фактормножество множества $\LARGE \mathbb{Z}$ по отношению сравнимости по модулю n обозначается через $\LARGE \mathbb{Z}_n$.
$\LARGE \mathbb{Z}_n=\{[0]_n, [1]_n, ..., [n-1]_n\}$

Затем:
![[Pasted image 20241118230117.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241118230205.png]]


### Свойство, отличное от числовых полей
В полях $\LARGE \mathbb{Z}_n$ (n - простое) выполняется равенство:
![[Pasted image 20241118230409.png]]

Наименьшее натуральное число $\LARGE n$, для которого в поле K выполняется равенство $\LARGE \uparrow$ - **характеристика этого поля**. Если такого n не существует, то говорят что поле нулевой характеристики (все числовые поля $\LARGE \mathbb{Z,Q,R,C}$)
Отсюда:
![[Pasted image 20241118230604.png]]

>[!Влияние этого факта на вычисления]
>![[Pasted image 20241118230730.png]]
>![[Pasted image 20241118230743.png]]


### Теорема о поле кольца вычетов
[[Кольцо]] $\LARGE \mathbb{Z}_n$ является [[Алгебраическое поле|полем]] тогда и только тогда, когда n - простое число.
![[Pasted image 20241118230303.png]]