#algebra 

**Кольцо** - [[Множество|множество]] $\LARGE K$ с операциями сложения и умножения, обладающими следующими свойствами:
1) относительно сложения $\LARGE K$ есть [[Абелева группа|абелева группа]] (аддитивная группа кольца $\LARGE K$)
2) $\LARGE a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc$ для любых $\LARGE a,b,c \in K$ (дистрибутивность умножения относительно сложения)

## Свойства и дальнейшие понятия

Следствия из аксиом:
![[Pasted image 20241021220725.png]]

Кольцо $\LARGE K$ называется *коммутативным*, если умножение в нем коммутативно, и *ассоциативно*, если умножение в нем ассоциативно
Элемент 1 кольца называется **единицей**, если $\LARGE a1=1a=a, \forall a$.
Элемент $\LARGE a^{-1}$ кольца с единицей называется обратным к элементу $\LARGE a$, если $\LARGE aa^{-1}=a^{-1}a=1$

Ни у какого элемента не может быть два различных обратных элемента, но могут быть элементы, не имеющие обратных элементов.
Элемент, имеющий обратный - **обратимый**.

![[Pasted image 20241021220951.png]]

>[!Пример]
>Числовые множества $\LARGE \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей относительно обычных операций сложения и умножения

**Кольцо без делителей нуля**: кольцо, обладающее свойством $\LARGE \{ac=bc \space or \space ca=cb, c \neq 0 \} \rightarrow a=b$
Действительно, можно переписать как $\LARGE (a-b)c=0$, откуда очевидно.

>[!Пример]
>Кольцо $\LARGE \mathbb{Z}$ - кольцо без делителей нуля



### Подкольцо
Подмножестко $\LARGE L$ кольца $\LARGE K$ - **подкольцо**, если:
1) $\LARGE L$ - подгруппа аддитивной группы кольца K
2) $\LARGE L$ замкнуто относительно умножения