#algebra 

## Общее
Криволинейный [[Интеграл|интеграл]] интегрируется по какой-то кривой и представляется в виде:
![[Pasted image 20250213143540.png]]
где $\LARGE dl$ - элемент длины кривой. 

Для того, чтобы интеграл был определен, необходимо задать положение кривой интегрирования в пространстве, что обычно делается параметризацией, т.е. координаты точек кривой $\LARGE \textbf{r}$ задаются как функции некоторого параметра $\LARGE t$, при изменении которого в некотором интервале $\LARGE a<t<b$ значения $\LARGE \textbf{r}(t)$ изменяются вдоль кривой.

![[Pasted image 20250213143757.png]]
Отсюда:
$$\LARGE I=\displaystyle\int_a^b dt\space |\partial_t \textbf{r}|\space f[\textbf{r}(t)]$$
Т.е. криволинейный интеграл был сведен к обыкновенному

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250214234935.png]]
>![[Pasted image 20250214235534.png]]

ЗНАЧЕНИЕ КОНТУРНОГО ИНТЕГРАЛА НЕ ЗАВИСИТ ОТ СПОСОБА ПАРАМЕТРИЗАЦИИ КРИВОЙ, ВДОЛЬ КОТОРОЙ БЕРЕТСЯ ИНТЕГРАЛ

![[Pasted image 20250215000641.png]]


## По замкнутому контуру
Для криволинейных интегралов по замкнутому контуру верны теоремы Стокса и Гаусса-Остроградского

## В комплексной плоскости
![[Pasted image 20250215002149.png]]
![[Pasted image 20250215002159.png]]


![[Pasted image 20250215002224.png]]


## Виды
### Первого рода
Пусть задана непрерывно [[Дифференцируемая функция]] $\LARGE \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3$ без особых точек ($\LARGE\dot{\gamma}\neq0$)
Она определяет кривую $\LARGE \Gamma=\gamma([a,b])$, кривую без особых точек, но с возможноыми самопересечениями

Тогда **криволиненый интеграл первого рода** от функции $\LARGE f$ по кривой $\LARGE \Gamma$:
$$\LARGE \int_\Gamma f(x,y,z)\space ds:=\int_a^b f(\gamma(t))\space|\gamma'(t)|\space dt=\int_a^b f(x(t), y(t), z(t))\space\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\space dt$$
![[Pasted image 20250319161941.png]]

> [!Зависимость от параметризации]
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации:
![[Pasted image 20250319172820.png]]
![[Pasted image 20250319173005.png]]

![[Pasted image 20250319173111.png]]

(**естественная параметризация**)

Все формулы аналогичны в $\LARGE \mathbb{R}^n$.

#### Площадь
![[Pasted image 20250319182648.png]]
![[Pasted image 20250319184327.png]]
![[Pasted image 20250319184351.png]]


### Второго рода
Ориентированная кривая - т.е. на ней выбрано начало-конец, или что на ней выбрано направление
(интуитивное определение)

**Ориентация на кривой** - выбор непрерывного поля единичных касательных
![[Pasted image 20250319174126.png]]

![[Pasted image 20250319174214.png]]


![[Pasted image 20250319174335.png]]
![[Pasted image 20250319174346.png]]

Тогда:
**Криволинейный интеграл второго рода** - величина:
$$\LARGE \int_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz \space:=\space\int_a^b (\vec{F}, \dot{\gamma})\space dt=\int_a^b(Px'+Qy'+Rz') \space dt$$
где $\LARGE (\vec{F}, \dot{\gamma})$ - [[Скалярное произведение векторов|скалярное произведение]] векторов

Основная формула:
$$\LARGE \int_\Gamma P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz = \int_a^b (P(x(t), y(t), z(t))\space x'(t) \space+Q(x(t), y(t), z(t))\space y'(t)\space+R((x(t), y(t), z(t))\space z'(t))\space dt$$
![[Pasted image 20250319174830.png]]

Аналогично для $\LARGE \mathbb{R}^2$ или $\LARGE \mathbb{R}^n$ 

В элементарной физике криволинейный интеграл второго рода - работа переменной силы при движении точки по кривой линии.

Условие осмысленности:
![[Pasted image 20250319174953.png]]


Выражение через интеграл первого рода:
![[Pasted image 20250319174936.png]]

Свойства:
- линейность
- если сменить ориентацию, интеграл сменить знак
- аддитивность по кривым: если разбить гладкую кривую на два куска, то интеграл по кривой будет равен сумме интегралов по кускам

Интеграл по кусочно гладкой [[Определение и длина кривой|кривой]] - сумма интегралов по гладким кусам

![[Pasted image 20250319175158.png]]