#algebra 

**Логарифм положительного числа $\LARGE b$ по основанию $\LARGE a$ ($\LARGE a>0, a\neq 1$)** - такое число $\LARGE \alpha$, что $\LARGE b=a^\alpha$.

Обозначение:

$$\LARGE \alpha = \log_{a}b$$
**ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО**:
$$\LARGE a^{log_a b}=b$$

## Вариации
#### Натуральный логарифм:
$$\LARGE \ln{a}=\log_ea$$
$\LARGE e$ - [[Число Эйлера]]

#### Десятичный логарифм
$$ \LARGE \lg a=\log_{10}a$$

## Функция
![[Pasted image 20221201232200.png|1200]]
*Красная функция - $\LARGE y=\log_2 x$, синия - [[Показательная функция|показательная функция]] $\LARGE y=2^x$*

## Свойства
### 1.
$$\LARGE log_a(M\cdot N)=log_aM+log_aN$$
### 2.
$$\LARGE log_a(\frac{M}{N})=log_aM-log_aN$$
### 3.
$$\LARGE log_aM^\gamma=\gamma log_aM$$
### 4.
$$\LARGE log_{a^\gamma}M=\frac{log_aM}{\gamma}$$
### 5.
$$\LARGE log_aM=\frac{log_bM}{log_ba}$$
**Доказательство**:
$\LARGE log_ba^{log_aM}=log_aM\cdot log_ba$
$\LARGE log_bM=log_aM\cdot log_ba$

### 6.
$$\LARGE log_ab=\frac{1}{log_ba}$$