#algebra 

**Максимум (соответственно минимум) [[Числовая функция|функции]] $\large f$** - такое число $\large a$, что значение функции в этой точке не меньше (соответственно не больше) значений вблизи этой точки.

Точки максимума и минимума - точки **экстремума функции**. Они бывают **локальными** и **глобальными**.

## Теоремы
### $\large T_1$
![[Pasted image 20221017213416.png|900]]
Доказательство выводится из здравого смысла и формулы [[Производная|производной]].

### $\large T_2$
![[Pasted image 20221017214011.png|900]]
![[Pasted image 20221017214151.png|900]]
Дальше сам, you fucking moron. Кстати, эта теорема говорит, что в точке МОЖЕТ быть экстремум, но не гарантирует этого.

### $\large T_3$
Теорема, связывающая понятие [[Непрерывная функция|непрерывности]] с экстремумами
![[Pasted image 20221025152140.png]]
![[Pasted image 20221025152426.png]]

### $\large T_4$
![[Pasted image 20221105154613.png]]
Аналогично и для точки минимума; док-во тривиально.
## Алгоритм нахождения
![[Pasted image 20221025152606.png]]
При этом полезно знать, что:
![[Pasted image 20221025152855.png]]


## Улучшенный алгоритм нахождения
### Без условий
Для функции $\LARGE z=f(x,y)$:
![[Pasted image 20250119060320.png]]

Находим точку, в которой первые производные $\LARGE f$ по $\LARGE x$ и $\LARGE y$ равны 0, и в этой точке находим значение детерминанта $\LARGE A$.

Если $\LARGE \det{A}>0$, то функция имеет экстремум в этой точке, причем если $\LARGE \LARGE \LARGE \LARGE \LARGE \LARGE\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0$ то это минмум, если $\LARGE \LARGE \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}<0$ - максимум. Если $\LARGE \det{A}<0$, то в точке нет экстремума.

Для функции $\LARGE u=f(x,y,z)$:
![[Pasted image 20250119060714.png]]

Также находим точку, в которой первые производные по $\LARGE x,y,z$ соответственно равны 0 и вычисляем угловые миноры матрицы вторых производных.

1) если $\LARGE \delta_1>0, \delta_2>0, \delta_3>0$, то у функции минимум в точке
2) если $\LARGE \delta_1<0, \delta_2>0, \delta_3<0$, то у функции максимум в точке
3) если что-то другое и при этом $\LARGE \delta_3 \neq 0$ - седловая точка
4) если $\LARGE \delta_3 =0$, то нельзя определить характер точки

Аналогично для функци от четырех переменных:
![[Pasted image 20250119061003.png]]


### С условием (метод множителей Лагранжа)
Пусть надо найти минимум функции $\LARGE F(x,y)$ при условии $\LARGE G(x,y)=0$

Построим функцию:
$\LARGE \Phi(\lambda,x,y)=F(x,y)+\lambda G(x,y)$
где $\LARGE \lambda$ - множитель Лагранжа.

Решаем систему:
$$\LARGE \begin{cases}\Phi_x=0 \\\Phi_y=0\\ G(x,y)=0 \end{cases}$$

Составим матрицу:
![[Pasted image 20250119061859.png]]
Если в точке $\LARGE \det{A}<0$, то функция достигает там минимума, если $\LARGE \det{A}>0$ - то максимума.


### На области
![[Pasted image 20250208032901.png]]