#algebra 

Метод перевала - метод приближенной оценки [[Интеграл|интегралов]] с резким пиком

## Определение метода
Пусть есть интеграл 
$$\LARGE I=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{f(t)}dt$$
Пусть $\LARGE f(t)$ имеет резкий пик в точке $\LARGE t=t_0$, тогда вблизи нее можно функцию $\LARGE f(t)$ разложить в [[Ряд Тейлора|ряд Тейлора]]:
$$\LARGE f(t)\approx f(t_0)+0+\frac{f''(t_0)}{2}(t-t_0)^2,\space\space\space f''(t_0)<0$$

Тогда подставляя в интеграл:
$$\LARGE I\approx\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{f(t_0)}e^{\frac{1}{2}f''(t_0)(t-t_0)^2}dt=\sqrt{\frac{2\pi}{|f''(t_0)|}}e^{f(t_0)}$$
(из [[Интеграл Гаусса|гауссового интеграла]])

Проверка "резкости" пика:

$$\LARGE \frac{(f^{(3)}(t_0))^2}{(f''(t_0))^3}<<1$$
$$\LARGE \frac{f^{(4)}(t_0)}{(f''(t_0))^2}<<1 $$

Помимо данного интеграла метод также можно применять к:
1) $$\LARGE I=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\ln{g(t)}}dt$$
2) $$\LARGE I=\int_0^{+\infty}e^{f(t)}dt$$
	При условии:
	![[Pasted image 20250419140033.png]]
3) $$\LARGE I=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{f(t)}dt=g(t_0)\int_{-\infty}^{+\infty}e^{f(t)}dt$$
	если $\LARGE g(t)$ медленно меняется в окрестности $\LARGE t_0$ 
4) $$\LARGE I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{x\cdot f(t)}dt, \space x>>1$$
	самый удобный случай, тогда любой пик становится резким
	$$\LARGE I\approx\sqrt{\frac{2\pi}{x|f''(t_0)|}}e^{xf(t_0)}$$
5) если несколько пиков:
	![[Pasted image 20250419141133.png]]
	![[Pasted image 20250419141248.png]]Метод перевала для интегралов с несколькими пиками
	(если что сам найдешь епта)


## Примеры
[[Приближение Стирлинга]]:
![[Pasted image 20250419142748.png]]
(резкость пика проверена заранее)

![[Pasted image 20250419143109.png]]