#algebra 

Это интегрирование интеграла по пространственным областям.
## Объемное интегрирование
Начнем с [[Интеграл|интегрирования]] по некоторой области двумерного пространства плоскости)
$$\LARGE I=\int dS f(\textbf{r})$$
где $\LARGE dS$ - площадь элемента плоскости, $\LARGE \textbf{r}$ - радиус-вектор, $\LARGE f$ - некоторая функция, заданная в области интегрирования

Введем на плоскости декартовы координаты $\LARGE x,y$. Тогда площадью $\LARGE dS$ элемента плоскости является просто произведение $\LARGE dS=dxdy$, поэтому:
![[Pasted image 20250212203140.png]]
Пределы интегрирования определяеются геометрической формой области, по которой идет интегрирование

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250212203220.png]]

Иногда удобно использовать полярные координаты: $\LARGE dS=\rho\space d\rho\space d\varphi$ 

Подставляя в исходный интеграл и учитывая , что интеграл по $\LARGE \rho$ надо брать в пределах $\LARGE 0 < \rho < R$, а интеграл по углу в пределах $\LARGE 0 < \varphi < 2\pi$ (для круга):
$$\LARGE I=\displaystyle\int_0^Rd\rho\space\rho\space\int^{2\pi}_0d\varphi\space f$$
Для трехмерного пространства:
$$\LARGE I=\int dV f, \space\space\space dV=dx\space dy\space dz$$
![[Pasted image 20250212210519.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250212210652.png]]

### Общий случай
Когда переходим от декартовых $\LARGE x,y$ к новым $\LARGE u,v$ площадь записывается в виде:
$$\LARGE dS=|J|\space du\space dv$$, где $\LARGE J$ - т.н. [[якобиан]], который равен
![[Pasted image 20250212210342.png]]

(модуль в выражении т.к. якобиан может быть отрицательным, а у нас площадь)
Формула работает если использовать [[Полная производная|полный дифференциал]] и рассмотреть $\LARGE dS=\Delta \vec{x} \times \Delta \vec{y}$, где вектора определяются координатами $\LARGE dx$ и $\LARGE dy$ в их полных дифференциалах по $\LARGE du, dv$

Для трехмерного: при переходе к $\LARGE u, v, w$:
$$\LARGE dV=|J|\space du\space dv\space dw$$
![[Pasted image 20250212210725.png]]
Значение $\LARGE dV$ отсюда и выше совпадают

(здесь аналогично формула работает)

![[Pasted image 20250212215216.png]]

## Общие свойства
Для $\LARGE \mathbb{R}^2$, для $\LARGE \mathbb{R}^n$ аналогично:
1) Площадь так же называется "двумерная мера" прямоугольника
2) [[Множество меры ноль|Множество меры 0]] по Лебегу на плоскости: если [[Множество|множество]] можно покрыть [[Счетное множество|счетным]] набором прямоугольников суммарной меры меньше любого заданного $\LARGE \varepsilon >0$. Пример: гладкая кривая, или кусочно гладкая кривая, график непрерывной функции на плоскости
3) Интеграл по прямоугольнику $\LARGE Q=I_1 \times I_2$ определяем точно так же как интеграл по отрезку. 
	Разбиение $\LARGE \tau = (\tau_1, \tau_2)$, где $\LARGE \tau_1 = \{x_0, ..., x_n\}$ - разбиение отрезка $\LARGE I_1$, $\LARGE \tau_2 = \{y_0, ... , y_m\}$ - разбиение $\LARGE I_2$. Мелкость разбиения - большая из двоих мелкостей
	Каждое разбиение определяет разбиение $\LARGE Q$ на маленькие прямоугольники $\LARGE \Delta_{i,j}=[x_{i-1}, x_i]\times[y_{j-1}, y_j]$. Выберем на каждом прямоугольнике $\LARGE \Delta_{i,j}$ точку $\LARGE (\xi_i, \eta_j)$ и составим интегральную сумму $\LARGE \sigma(f, \tau, (\xi, \eta))=\sum_{i,j} f(\xi_i,\eta_j)|\Delta_{i,j}|$ 
 4) Тогда интеграл - предел интегральных сумм:
	 $$\LARGE \displaystyle\int_Q f(x,y)\space dx \space dy=\lim_{\lambda(\tau)\rightarrow0}\sum_{i,j}f(\xi_i,\eta_j)|\Delta_{i,j}|$$
 5) Критерий Лебега сохраняется - ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество точек разрыва имеет меру 0 по Лебегу
 6) Характеристическая функция множества $\LARGE D \subset Q: \chi_D (x,y) := \begin{cases} 1, \space(x,y) \in D \\ 0, \space(x,y) \notin D \end{cases}$  . Множество её точек разрыва - граница $\LARGE \partial D$ множества $\LARGE D$.
	 Тогда величина $\LARGE \displaystyle\int_Q \chi_D(x,y)dxdy=|D|=S(D)$ - площадь множества. Площадь иначе называется **плоской мерой Жордана**. Определена тогда и только тогда, когда $\LARGE \partial D$ имеет меру 0 по Лебегу
 7) ![[Pasted image 20250321105519.png]]
 8) Интеграл по множеству $\LARGE D \subset Q$ от $\LARGE f$ - величина $\LARGE \displaystyle\int_Q \chi_D(x,y) \space f(x,y) \space dx\space dy$. Определен, если граница $\LARGE D$ и множество точек разрыва $\LARGE f$ оба имеют меру 0. Обозначается $\LARGE \displaystyle \int_D f(x,y) \space dx\space dy$ 
 9) Справедливы всяческие свойства многомерного интеграла, например, простейшая теорема о среднем:
	$$\LARGE |\displaystyle\int_D f(x,y)\space dx\space dy\space|\leq \sup|f| \space S(D)$$
10) Принципиальное различие между одномерным и многомерным интегралом: одномерный интеграл Римана - ориентированный, многомерный - нет
11) Теорема Фубини:Пусть функция $\LARGE f(x,y)$ интегриуема на $\LARGE Q=[a,b] \times [c,d]$ и $\LARGE \forall x \in [a,b]$ функция $\LARGE f_x: [c,d] \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto f(x,y)$ (т.е. $\LARGE f_x(y)=f(x,y)$ ) интегрируема на $\LARGE [c,d]$ Тогда:
	$$\LARGE\displaystyle\int_Q f(x,y)\space dx\space dy=\int_a^b(\int_c^d f(x,y)\space dy)\space dx $$![[Pasted image 20250321123238.png]]
14) ![[Pasted image 20250321124248.png]]