#algebra 

## Определение
**Параметрическая кривая** на плоскости - [[Непрерывная функция|непрерывное]] [[Отображение|отображение]] $\LARGE \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2$
Кривой на плоскости также называют образ такого отображения: $\LARGE \Gamma = \gamma([a,b]) \subset \mathbb{R}^2$ 

![[Pasted image 20250123103755.png]]
t - параметр кривой (можно считать, что время)

![[Pasted image 20250123103950.png]]
$\LARGE C^k ([a,b])$ - множество всех функций $\LARGE f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2$, у которых в каждой точке $\LARGE [a,b]$ существуют и непрерывны $\LARGE k$ производных.
($\LARGE C^0$ - непрерывны сами функции)

![[Pasted image 20250123104240.png]]

## Длина
Пусть заданы две функции $\LARGE x(t), y(t) \in C^0 ([a,b])$ так, что определена параметрическая кривая $\LARGE \gamma(t)=(x(t), y(t))$.
Рассмотрим разбиение отрезка $\LARGE \tau$ точками $\LARGE t_k$: $\LARGE a=t_0<t_1<...< b = t_n$.
При отображении $\LARGE t \mapsto (x(t), y(t))$ на кривой возникнут точки, которые можно соединить отрезками-хордами $\LARGE \Delta_k$:
![[Pasted image 20250123104836.png]]

Длина $\LARGE k$-той хорды:
$$\LARGE \sqrt{(x(t_k)-x(t_{k-1}))^2+(y(t_k)-y(t_{k-1}))^2}$$
Тогда длина ломаной:
$$\LARGE s(\gamma,\tau)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{(x(t_k)-x(t_{k-1}))^2+(y(t_k)-y(t_{k-1}))^2}$$
Если множество сумм длин хорд по всем разбиениям ограничено, то говорят, что кривая **спрямляемая** или что у кривой есть **длина**

**Длина кривой $\LARGE \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2$** называется $\LARGE L(\gamma)=\displaystyle \sup_\tau s(\gamma, \tau)$ 
>[!Пример]
>![[Pasted image 20250123105428.png]]


Очевидно, что **при добавлении точек разбиения длина ломанной всегда не убывает**

### Теорема о существовании длины
![[Pasted image 20250319151724.png]]
#### Доказательство
![[Pasted image 20250319151753.png]]

![[Pasted image 20250319151808.png]]


### Теорема о формуле длины
![[Pasted image 20250319153125.png]]
![[Pasted image 20250319153141.png]]
(используется [[Теорема Лагранжа о среднем значении]])

Альтернативная запись формулы:
![[Pasted image 20250319153406.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250319153449.png]]
>([[Эллиптические интегралы]])


Длина кривой в $\LARGE \mathbb{R}^3$:
![[Pasted image 20250319153559.png]]

Длина кривой **не зависит от параметризации**
![[Pasted image 20250319153637.png]]

Длина кусочно гладкой кривой равна сумме длин её кусков