#algebra 

**Первообразная для функции $\LARGE f(x)$** - такая [[Числовая функция|функция]] $\LARGE F(x)$, что $\LARGE F'(x)=f(x)$.

**Неопределенный интеграл от [[Непрерывная функция|непрерывной функции]]** - некоторая её первообразная $\LARGE \int f(x)\mathrm{d}x$.

Например:
$\LARGE F(x)=5x^2+С$ для $\LARGE f(x)=10x$, где C -константа

## Базовые первообразные/неопределенные интегралы
Докажи сам бля

$$\LARGE F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \space\space f(x)=x^n, n\neq-1$$
$$\LARGE \int Adx = Ax+C$$
$$\LARGE \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C$$
$$\LARGE \int e^x dx = e^x+C$$
$$\LARGE \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C, a>0, a\neq1$$
$$\LARGE \int \sin xdx=-\cos x+C$$
$$\LARGE \int \cos x dx=\sin x+C$$
$$\LARGE \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$ (вынеси $\LARGE a$ и получи итог)


$$\LARGE \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C$$ $$\LARGE \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$$
>[!Вывод]-
>![[Pasted image 20241011193033.png]]

$$\LARGE \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}|+C$$
>[!Вывод]-
>![[Pasted image 20241011202935.png]]
>![[Pasted image 20241011202951.png]]
>![[Pasted image 20241011203004.png]]
>![[Pasted image 20241011203028.png]]
>![[Pasted image 20241011203039.png]]

## Основные свойства
$$\LARGE \int (A_1 f_1(x)+A_2f_2)dx=A_1\int f_1(x)dx+A_2\int f_2(x)dx+C$$
$$\LARGE \int g(f(x))dx=\frac{1}{f'(x)}\cdot\int g(f(x))dx$$