#algebra 

Грубо говоря, поверхностный [[Интеграл|интеграл]] - распространение концепта [[Криволинейный интеграл|криволинейного интеграла]] на какую-либо поверхность

## Поверхность в трехмерном пространстве
(можно обобщить на большую размерность)

![[Pasted image 20250212215309.png]]

Поверхность задана параметрически в виде:
$$\LARGE x=x(u,v), \space\space y=y(u,v),\space\space z=z(u,v) $$
где параметры $\LARGE u,v$ принадлежат некоторой двумерной области

Вводим векторный элемент поверхности:
![[Pasted image 20250212215706.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250212220317.png]]


Найденный вектор $\LARGE d\textbf{S}$ часто используется для вычисления интегралов вида $\LARGE \int d\textbf{S} \space\textbf{f}$

### Замкнутая поверхность
Если интеграл вычисляется для замкнутой поверхности, то справедлива [[Теорема Гаусса-Остроградского|теорема Гаусса-Остроградского]]
![[Pasted image 20250212222414.png]]
(3.8 это уравнения компонент вектора $\LARGE d\textbf{S}$)