#algebra 

# Функции одной переменной
## Предел при $\large x \rightarrow +\infty$
**Предел [[Числовая функция|функции]] $f$ при $\large x \rightarrow +\infty$** - число $b$, такое, что $\large f(x)=b+\alpha(x)$, где функция $\large \alpha$ бесконечно мала при $\large x \rightarrow +\infty$

Пишут: $$\large \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=b$$
Другое определение:

**Предел [[Числовая функция|функции]] $f$ при $\large x \rightarrow +\infty$** - число $b$, такое, что для любого $\large \epsilon > 0$ найдется луч $\large (M;+\infty)$, на котором выполняется неравенство $\large |f(x)-b|<\epsilon$.

## Предел при $\large x \rightarrow -\infty$ и $\large x \rightarrow \infty$
**Предел [[Числовая функция|функции]] $f$ при $\large x \rightarrow -\infty$** - число $b$ такое, что $\large \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(-x)=b$.

Пишут: $$\large \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=b$$
Если $\huge \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$, то $\huge b$ - предел функции $\large f$ при $\large x \rightarrow \infty$

## Предел при $\large x \rightarrow a$
**Предел функции $\large f$ при $\large x\rightarrow a$** - такое число $\large b$, что $\large f(x)=b+\alpha$, где функция $\large \alpha$ бесконечно мала при $\large x\rightarrow a$.
![[Pasted image 20220823200746.png]]
![[Pasted image 20220826144053.png]]
![[Pasted image 20220826144057.png]]

## Связь с [[Бесконечно малая функция|бесконечно малыми функциями]]

![[Pasted image 20220727174300.png]]

## Примеры решения задач
![[Pasted image 20220727174313.png]]

![[Pasted image 20220727174316.png]]
![[Pasted image 20220727174318.png]]
![[Pasted image 20240916184619.png]] (предельное значение [[Многочлен|многочленов]] зависит от их степени и старшего коэффициента)

## Свойства и теоремы
![[Теоремы, связанные с понятием предела]]

# Функции двух переменных
Аналогично функции одной переменной, можно определить по Коши и по Гейне

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250207171731.png]]
>![[Pasted image 20250207171751.png]]

Переход в полярные:
![[Pasted image 20250207171820.png]]



![[Pasted image 20250207171832.png]]
![[Pasted image 20250207171847.png]]

![[Pasted image 20250207172026.png]]

# Повторный предел
Повторный предел - предел вида 
$$\LARGE \lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y)$$
Легко: заменим $\LARGE \varphi(x)=\displaystyle \lim_{y\rightarrow y_0} f(x,y)$ , дальше решить