#algebra 

## Непрерывное преобразование Фурье
Начиная с одномерного случая:

Прямое преобразование Фурье - преобразование $\LARGE f(x) \mapsto \tilde{f} (k)$:
$$\LARGE \tilde{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}dx f(x)e^{-ikx}$$
Также справедливо обратное:
$$\LARGE f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dk}{2\pi}\tilde{f}(k)e^{ikx}$$
(обратное преобразование Фурье)
(![[Pasted image 20250526013131.png]])

![[Pasted image 20250526013410.png]]![[Pasted image 20250526013422.png]]

>[!Преобразование Фурье Гауссиана]
>[[Интеграл Гаусса]]:
>![[Pasted image 20250526013523.png]]


>[!Некоторые свойства преобразования Фурье:]
>![[Pasted image 20250526013611.png]]
>![[Pasted image 20250526013832.png]]

(* - комплексно сопряженное)

### Теорема о [[Свертка|свёртке]]
![[Pasted image 20250526014246.png]]
![[Pasted image 20250526014543.png]]

### Многомерное обобщение преобразования Фурье
$$\LARGE \tilde{f}(k_1,...,k_d)=\int dx_1...dx_d \space e^{-ik_1x_1...-ik_dx_d}f(x_1,...,x_d)$$
$$\LARGE f(x_1,...,x_d)=\frac{1}{(2\pi)^d}\int dk_1...dk_d \space e^{ik_1x_1...+ik_dx_d}\tilde{f}(k_1,...,k_d)$$

Для Гауссиана:
![[Pasted image 20250526014828.png]]


>[!Пример решения уравнения диффузии]
>![[Pasted image 20250526015323.png]]
>![[Pasted image 20250526015343.png]]

## Ряд Фурье для периодических функций
Если $\LARGE L$ - период функции, то функция раскладывается в ряд Фурье:
$$\LARGE f(x)=\displaystyle\sum_{-\infty}^{+\infty}f_n \space e^{2\pi inx/L}$$
где $\LARGE n$ - целые числа, пробегающие значения от $\LARGE -\infty$ до $\LARGE +\infty$. Очевидно, что для целого $\LARGE n$ все экспоненты $\LARGE e^{2\pi i nx/L}$ периодически с периодом $\LARGE L$, так что стоящий в правой части ряд также периодичен с таким же периодом $\LARGE L$
![[Pasted image 20250528034304.png]]
$$\LARGE f_m=\frac{1}{L}\int_0^Ldx\space f(x) e^{-2\pi imx/L}$$
(подставить 6.25 в определение разложения в ряд Фурье)

Для действительных периодических функций иногда удобнее использовать разложение по синусам и косинусам из [[Комплексные числа|формулы Эйлера]]:
$$\LARGE f(x)=f_0+\sum_{n=1}^\infty[g_n\cos(\frac{2\pi n x}{L})+h_n\sin({\frac{2\pi nx}{L}})]$$
Суммирование только по положительным, так как косинус четен, а синус нечетен, то есть изменение знака аргумента этих тригонометрических функций мы возвращаемся к ним же.
Коэффициенты даются следующими интегралами:
![[Pasted image 20250528045359.png]]
![[Pasted image 20250528051528.png]]
![[Pasted image 20250528051539.png]]
![[Pasted image 20250528051554.png]]

Можно также интерпретировать иначе, как разложение функции, заданной на интервале $(0,L)$ или любом другом интервале длиной $\LARGE L$, например, применяя формулу для $\LARGE \delta(x)$ на интервале $\LARGE (-\pi, +\pi)$ получаем:
![[Pasted image 20250530132750.png]]
Переходя к периодической функции, заданной на всей прямой:
![[Pasted image 20250530132809.png]]

Аналогично формуле преобразования Фурье для производной функции для ряда Фурье дифференцируем ряд Фурье по определению и находим:
![[Pasted image 20250530132929.png]]
Аналогично и для более высоких производных

![[Pasted image 20250530133126.png]]
![[Pasted image 20250531200555.png]]
## Преобразование Фурье функций, заданных на решётке
![[Pasted image 20250530133627.png]]

Отсюда получается:
$$\LARGE f_n=\int_{-\pi/a}^{\pi/a}f(q) e^{iqx_n}\frac{dq}{2\pi}$$
где выбран определенный интервал интегрирования, величина которого должна быть равна $\LARGE \frac{2\pi}{a}$.

Тогда обратное преобразование имеет вид:
$$\LARGE f(q)=a\sum_{n}f_n e^{-iqx_n} $$
где суммирование идет по всем узлам решетки, то есть по целым $\LARGE n$ от $\LARGE -\infty$ до $\LARGE +\infty$
![[Pasted image 20250530133900.png]]

### Дискретное преобразование Фурье
![[Pasted image 20250530133921.png]]


>[!Нахождение Кулоновского потенциала]
>![[Pasted image 20250530141118.png]]
![[Pasted image 20250530141131.png]]