#algebra 

## Необходимое условие сходимости
Если ряд $\LARGE \sum a_n$ сходится, то $\LARGE a_n \rightarrow 0$ при $\LARGE n \rightarrow \infty$ 

## Критерий Коши сходимости ряда
![[Pasted image 20250327124001.png]]

## Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами
![[Pasted image 20250327131106.png]]
При этом сумма сходящегося ряда с неотрицательными членами совпадает с точной верхней гранью частичных сумм

## Признак сравнения (расширенный)
![[Pasted image 20250327132648.png]]
![[Pasted image 20250327132653.png]]

## Признаки для неотряцательных рядов:
### Признак предела отношения рядов
![[Pasted image 20250327132737.png]]
![[Pasted image 20250327132747.png]]

### Признак сравнения отношений
![[Pasted image 20250327132949.png]]
![[Pasted image 20250327132957.png]]

## Телескопический признак сходимости ряда
![[Pasted image 20250327133023.png]]
![[Pasted image 20250327133044.png]]
![[Pasted image 20250327133109.png]]
![[Pasted image 20250327133118.png]]
## Радикальный признак Коши
Пусть $\LARGE q=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sup |a_n|^{\frac{1}{n}}$

Если $\LARGE q < 1$, то [[Ряд|ряд]] $\LARGE \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится, причем абсолютно, если $\LARGE q >1$, то этот ряд не сходится. Для $\LARGE q=1$ бывают сходищеся и не сходящиеся ряды.

### Доказательство
![[Pasted image 20241104062119.png]]
(абсолютная сходимость здесь обеспечивается: $\LARGE |a_1|+|a_2|+...+|a_n| \leq q_1+q_1^2+...+q^n_1$ (по признаку сравнения))
(признак сравнения С ЧЛЕНАМИ ряда, а не с суммой ряда)

## Признак д'Аламбера
Пусть $\LARGE q=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sup \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$. 

Если $\LARGE q < 1$, то ряд $\LARGE \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится, причем абсолютно

### Доказательство
![[Pasted image 20241104064210.png]]

## Признак Лейбница
![[Pasted image 20250328102455.png]]
![[Pasted image 20250328102513.png]]

## Признак Дирихле
### Тождество Абеля
![[Pasted image 20250328104854.png]]
![[Pasted image 20250328104902.png]]
![[Pasted image 20250328104910.png]]

### Признак Дирихле
![[Pasted image 20250328104930.png]]
![[Pasted image 20250328104939.png]]

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250328105041.png]]
>![[Pasted image 20250328105133.png]]
>![[Pasted image 20250328105146.png]]

## Признак Абеля
![[Pasted image 20250328104956.png]]
![[Pasted image 20250328105004.png]]