#algebra 

## Теорема
Пусть отрезки $\LARGE I_n=[a_n,b_n]$ таковы, что $\LARGE I_{n+1} \subset I_n$. Тогда их пересечение непусто. Если для всякого $\LARGE k \in \mathbb{N}$ найдется номер $\LARGE n$ с $\LARGE b_n-a_n \leq k^{-1}$, то пересечение состоит из одной точки.

Доказательство:
Для $\LARGE A=\{a_n\}$ и $\LARGE B=\{b_n\}$ имеем $\LARGE A \leq B$, т.к. при $\LARGE k \geq n$ верна оценка $\LARGE a_n \leq a_k \leq b_k$. По [[Аксиома непрерывности|аксиоме полноты]] найдется $\LARGE c$, для которого $\LARGE a_n \leq c \leq b_n$ при всех $\LARGE n$, т.е. $\LARGE c$ лежит в пересечении. Если выполнено второе условие, то не может быть двух точек $\LARGE c_1$ и $\LARGE c_2$ в пересечении, ибо тогда при $\LARGE c_2 > c_1$ найдется $\LARGE k \in \mathbb{N}$ с $\LARGE k^{-1}< c_2-c_1$, значит, взяв $\LARGE n$, для которого $\LARGE b_n-a_n < k^{-1}$, получим противоречие

Противоречие:
![[Pasted image 20241027141925.png]]