#algebra 

**Производная по направлению** - [[Производная|производная]], определяющая скорость изменения функции в направлении заданной оси

Используется для функций нескольких переменных
Для $\LARGE f(x,y)$, если в точке $\LARGE M_0 (x_0, y_0)$ существует производная по направлению луча $\LARGE l$ (исходящего из $\LARGE M_0$ и лежащего в плоскости $\LARGE XOY$, то её можно рассчитать по формуле)
$$\LARGE \frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\cdot\cos{\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\cdot \cos{\beta}$$
где $\LARGE \cos{\alpha}, \cos{\beta}$ - напарвляющие косинусы (координаты вектора единичной длины, однозначно определяющие данное направление).




![[Pasted image 20250207222851.png]]

$$\LARGE \frac{\partial f}{\partial l}=\tan{\varphi}$$
где $\LARGE \varphi$ - угол между касательной к линии $\LARGE L$ в точке $\LARGE M$ и плоскостью $\LARGE XOY$.

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250207223213.png]]
>![[Pasted image 20250207223228.png]]
>![[Pasted image 20250207223255.png]]
>![[Pasted image 20250207223314.png]]


Для функции трех переменных:
![[Pasted image 20250207224313.png]]