#algebra 

**Размерность [[Векторное пространство|векторного пространства]] $\LARGE V$** - число векторов во всех базисах конечномерного векторного пространства
Обозначается $\LARGE \dim{V}$.

### Теорема о существовании размерности пространства
Все базисы конечномерного векторного пространства $\LARGE V$ содержат одно и то же число векторов
![[Pasted image 20241125131017.png]]
(предложение 1 - основная лемма о линейной зависимости)

### Теорема о монотонности размерности
Всякое подпространство $\LARGE U$ конечномерного векторного пространства $\LARGE V$ также конечномерно, причем $\LARGE \dim{U} \leq \dim{V}$. Более того, если $\LARGE U \neq V$, то $\LARGE \dim{U}<\dim{V}$
![[Pasted image 20241125134829.png]]
(предолжение 2 - теорема о базисе как о максимальном линейно независимом подмножестве)

### Теорема об изоморфности конечномерных векторных пространств в зависимости от их размерности
Конечномерные векторные пространства над одним и тем же [[Алгебраическое поле|полем]] [[Изоморфизм|изоморфны]] тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность
![[Pasted image 20241125135252.png]]

Следствие:
![[Pasted image 20241125135410.png]]