#algebra 

# В $\LARGE \mathbb{R}$

## Определение
Если [[Числовая функция|функция]] имеет [[Дифференцируемая функция|дифференцируема]] $\LARGE k$ раз в [[Окрестность точки|окрестности точки]] $\LARGE a$, тогда:
$$\LARGE f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}\cdot(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}\cdot(x-a)^2+...+\frac{f^{(k-1)}(a)}{(k-1)!}\cdot(x-a)^{k-1}+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot(x-a)^k$$
где последнее слагаемое называется **остаточным членом формулы/ряда Тейлора**.

Иначе запись:
$$\LARGE f=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n$$
Беря производную $\LARGE n$-го порядка от $\LARGE f$ и приравнивая затем $\LARGE x$ к $\LARGE x_0$, находим: 
(легко выводится)
$$\LARGE b_n=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}f(x_0)$$

## Доказательство
Для a=0:

Пусть функция $\LARGE f(x)$ имеет [[Производная|производную]] в некоторой окрестности точки x=0. Тогда по [[Теорема Лагранжа о среднем значении|теореме Лагранжа]] $\LARGE f(x)-f(0)=xf'(c)$, где x - точка в окрестности, c - некоторое число из промежутка. Можно переписать как $\LARGE f(x)=f(0)+x\cdot f'(c)$.
Пусть теперь функция имеет вторую производную. Найдем такое P, чтобы выполнялось равенство $\LARGE f(x)=f(0)+f'(0)x+Px^2$. Введём функцию от переменной $\LARGE u$, заданную на том же отрезке $\LARGE F(u)=f(u)+f'(u)(x-u)+P(x-u)^2$.
Нетрудно доказать, что $\LARGE F(0)=f(x)$ и $\LARGE F(x)=f(x)$, тогда по [[Теорема Ролля|теореме Ролля]]:
$\LARGE F'(u)=f'(u)-f'(u)+f''(u)(x-u)-2(x-u)P=0$
Отсюда: $\LARGE P=\frac{f''(c)}{2}$.
Аналогично далее
## Применение
Прежде всего для приближенного вычисления значений функций.


## Радиус сходимости ряда Тейлора
Ряд Тейлора [[Признаки сходимости рядов|сходится]] при данном $\LARGE x$, если существует такое число $\LARGE f$, что разности $\LARGE f-\displaystyle \sum_{n=0}^{N}b_n x^n$ стремится к нулю при стремлении $\LARGE N$ к бесконечности. Это свойство выполняется для $\LARGE |x|<R$, где $\LARGE R$ называется **радиусом сходимости ряда Тейлора**.

Понятие радиуса сходимости появилось в связи с обобщением ряда **Тейлора** на случай [[Комплексные числа|комплексных чисел]]. Ряд $\LARGE f=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n$ сходится для произвольных комплексных $\LARGE x$, если $\LARGE |x-x_0|<R$. На плоскости комплексных чисел это условие выделяет диск радиуса $\LARGE R$, отсюда и термин.

Простой критерий опеделения радиуса сходимости ряда Тейлора: **радиус $\LARGE R$ равен расстоянию от $\LARGE x_0$ до ближайшей сингулярной точки $\LARGE f(x)$** (понятно, что в самой сингулярной точке ряд Тейлора не может сходиться, отсюда и возникает значение радиуса сходимости).

>[!Пример]
>![[Pasted image 20241204224920.png]]

Имеется критерий Даламбера для сходимости ряда Тейлора по коэффициентам $\LARGE b_n$: **если, начиная с некоторого номера, $\LARGE |b_{n+1}|<\frac{|b_n|}{R}$, то ряд сходится при $\LARGE |x-x_0|<R$**:
![[Pasted image 20241204225239.png]]

![[Pasted image 20241205205823.png]]
**ВАЖНО**:
![[Pasted image 20241205205932.png]]
Аналогичное верно для [[Первообразная|первообразной]]:
![[Pasted image 20241205210406.png]]

Используя соотношения между рядом Тейлора для функции, её производной и первообразной, а также замены переменных, можно найти функцию по её ряду.

>[!Обратное суммирование]-
>![[Pasted image 20241205211103.png]]
## Частные примеры
[[Число Эйлера]]:
$$\LARGE e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n$$

Отсюда для [[Тригонометрические функции|гиперболических тригонометрических функций]]:
$$\LARGE \cosh{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$$
$$\LARGE \sinh{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

Радиус сходимости для 6.5: отношение $\LARGE \frac{b_n}{b_{n+1}}=n+1$, т.е. стремится к бесконечности при возрастании $\LARGE n$, т.е. ряд сходится при любом $\LARGE x$.

Для обычных тригонометрических функций:
$$\LARGE \cos{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$
$$ \LARGE \sin{x}=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$
(выводится из [[Комплексные числа|формулы Эйлера]])
Ряды также сходится при любом $\LARGE x$.

Логарифм:
$$\LARGE \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+...=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{n+1}}{(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$$
## Точность аппроксимации
![[Pasted image 20241205230038.png]]
Если существует предел для радиуса сходимости, то:

![[Pasted image 20241205230217.png]]

## Для многих переменных
Для двух:
$$\LARGE f(x,y=\displaystyle\sum_{n,m=0}^\infty b_{nm}(x-x_0)^n(y-y_0)^m$$

$$\LARGE b_{nm}=\frac{1}{n!m!}\frac{\partial^{m+n}f}{\partial x^n\partial y^m}$$

## Формула Тейлора
### Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Пусть функция $\LARGE f$ на интервале $\LARGE (a,b)$ дифференцируема $\LARGE n+1$ Раз. Тогда для всяких точек $\LARGE x_0$ и $\LARGE x$ из $\LARGE (a,b)$ нйайдется такая точка $\LARGE \xi \in (x,_0 x)$, что:
$$ \LARGE f(x)-f(x_0)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}$$

### Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши
Пусть функция $\LARGE f$ на интервале $\LARGE (a,b)$ дифференцируема $\LARGE n+1$ раз. Тогда для всяких точек $\LARGE x$ и $\LARGE x+h$ из $\LARGE (a,b)$ найдется такая точка $\LARGE \xi \in (x,x+h)$, что:
$$\LARGE f(x+h)-f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}f^{(k)}(x)h^k+r_n(x,h)$$
где остаточный член имеет вид
$$ \LARGE r_n(x,h)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)(x+h-\xi)h^nh, \space\space\space\space\xi\in(x,x+h)$$

### Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Пусть функция $\LARGE f$ на интервале $\LARGE (a,b)$ дифференцируема $\LARGE n$ раз. Тогда для всякой точки $\LARGE x$ из $\LARGE (a,b)$ при достаточно малых $\LARGE h$ имеем:
$$\LARGE f(x+h)-f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}f^{(k)}(x)h^k+r_n(x,h), \space\space\space\space\space r_n(x,h)=o(h^n)$$
(нотация о-малое)

### Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
![[Pasted image 20250319143625.png]]

![[Pasted image 20250319143636.png]]
Применяется [[Интеграл|интегрирование по частям]] 

## Для векторной функции
в формуле Пеано:
$$\LARGE f(\textbf{r}+\textbf{a})\approx f(\textbf{r})+\textbf{a}\cdot (\nabla f)\Big|_\textbf{r}$$
где набла обозначает [[Градиент]]

# В $\LARGE \mathbb{C}$
In real analysis, the analyticity of a function is NOT a direct consequence of its differentiability
In complex analysis, a function that is differentiable in some domain, it is infinitely differentiable in that domain
Even more, if a function is analytic in some region of the complex plane, then its Taylor series automatically converges to it with some positive radius of convergence

It is a consequence of the [[Cauchy's integral formula]]

## Proof of infinite differentiability
Say we have disk of radius R with center a
![[Pasted image 20251028213011.png]]
Function $\LARGE f(z)$ is [[Holomorphic function|holomorphic]] in here (including the boundary of the disk)
Then, using [[Cauchy's integral formula]]:
$$\LARGE f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_R \frac{f(z)}{z-a}dz$$
However, by differentiating with respect to a, we can see that:
$$\LARGE f'(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_R \frac{f(z)}{(z-a)^2}dz$$
Then:
$$\LARGE f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_R \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz$$
This is exactly that - if our function is analytic in some domain, it's infinitely differentiable in that domain

----
Now consider another point h:
![[Pasted image 20251028213402.png]]
$\LARGE z=a+h, \space |h|<R$
$$\LARGE f(a+h)=\frac{1}{2\pi i}\oint_R \frac{f(z)}{z-a-h}dz$$
To express this using f(a) and the derivative of the function, we use the fact that $\LARGE \frac{|h|}{R}<1$ and that $\LARGE |z-a|=R$:
![[Pasted image 20251028213603.png]]
It's convergent, and we turn the integral of the sum into the sum of integrals:

$$\LARGE f(a+h)=\sum_{n=0}^\infty h^n \frac{1}{2\pi i}\oint_R \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n$$

Proof that the remainder term tends to 0:
![[Pasted image 20251028214202.png]]
![[Pasted image 20251028214301.png]]

## Singularity point
Convergence radius = distance from the center of the disk to the closest singularity point on the counter
![[Pasted image 20251028214438.png]]
(This is a sequence of Cauchy's integral formula/theorem)