#algebra 

Пусть дана [[Предел последовательности|последовательность]] [[Числовые множества|вещественных чисел]] $\LARGE a_n$, если последовательность сумм $\LARGE S_n := a_1+...+a_n=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i$ имеет конечный предел $\LARGE S$, то говорят, что **ряд с общим членом $\LARGE a_n$** сходится к $\LARGE S$ и пишут $\LARGE S=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$.
Величина $\LARGE S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ называется частичной суммой данного ряда

**Знакочередующийся ряд** - ряд, у которого все чётные члены имеют имеют один знак, а нечётные - другой
## Свойства
Из [[Критерий сходимости Коши|критерия сходимости Коши]]: $\LARGE |S_n-S_m| < \epsilon; n,m \geq N_\epsilon$, что записывается как:
$$ \LARGE \displaystyle |\sum_{i=n}^ma_i|< \epsilon; \space n,m \geq N_\epsilon$$Из этого видно:
- сходимость ряда влечет сходимость $\LARGE a_n$ к нулю
- НО сходимость $\LARGE a_n$ к нулю НЕ влечет сходимость ряда

### Абсолютная и условная сходимость
Сходящийся ряд $\LARGE \sum a_n$ называется **сходящимся абсолютно**, если сходится ряд из модулей $\LARGE \sum |a_n|$, иначе - **сходящися условно**

Поскольку $\LARGE \displaystyle |\sum_{i=n}^ma_i| \leq \sum_{i=n}^m|a_i|$, то если ряд абсолютно сходящийся,  то он сходится в привычном смысле.
НО ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО:
Знакопеременный ряд Лейбница $\LARGE a_n=(-1)^{n+1}n^{-1}$ в модулях расходится, однако без модулей сходится.
![[Pasted image 20241104055951.png]]

>Свойство: пусть последовательность чисел $\LARGE a_n >0$ монотонно убывает к нулю. Тогда знакопеременный ряд с общим членом $\LARGE (-1)^{n+1} a_n$ сходится

**Ясно также, что сходимость ряда из $\LARGE a_n$ обеспечивается сравнением $\LARGE |a_n| \leq b_n$ с членами $\LARGE b_n$ неотрицательного сходящегося ряда.**

### Арифметические свойства сходящихся рядов
![[Pasted image 20250327124055.png]]
![[Pasted image 20250327124117.png]]
![[Pasted image 20250327124137.png]]
![[Pasted image 20250327124340.png]]
![[Pasted image 20250327124749.png]]
![[Pasted image 20250327124757.png]]

## [[Признаки сходимости рядов]]