#algebra 

## Система двух [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]] первого порядка для двух переменных

Система вида
$$\LARGE \begin{cases}\frac{dx}{dt}=v(t,x,y) \\ \frac{dy}{dt}=u(t,x,y)\end{cases}$$
Рассотрим случай когда $\LARGE v$ и $\LARGE u$ не зависят от времени - **автономная система**. В таком случае форма траектории, проходящей через некоторую точку $\LARGE (x_0, y_0)$ не зависит от момента времени $\LARGE t$, когда это происходит. Другими словами, на плоскости плоскости $\LARGE X-Y$ имеется совокупность не зависящих от времени траекторий, по которым движется материальная точка, попавшая на эту траекторию - такая совокупность называется **фазовым портретом системы уравнений**.
Важную роль играют фиксированные **стационарные точки**, где $\LARGE v=0, u=0$ - любая такая точка является решений системы, не зависящем от времени. Особый интерес - устойчивые стационарные точки, т.е. такие, что при росте времени $\LARGE t$ к ним стремится любая траектория, начинающаяся в некоторой окрестности этой фиксированной точки.
Рассмотрим регулярную фиксированную точку $\LARGE x_f, y_f$ системы уравнений, вблизи которой главные члены разложения $\LARGE v,u$ по $\LARGE x-x_f, y-y_f$ в [[Ряд Тейлора|ряд Тейлора]] линейны. 

Сдвинем систему координат в эту точку. Тогда система вблизи начала координат будет иметь вид
$$\LARGE \frac{d}{dt}(\textbf{v})=M \textbf{v}$$
где $\LARGE \textbf{v}=\begin{align} x \\ y \end{align}\space$ , а $\LARGE M=\pmatrix{v_x & v_y \\ u_x & u_y}$, где $\LARGE v_{x,y}$ - первые [[Производная|производные]] $\LARGE v(t,x,y)$ по $\LARGE x$ и $\LARGE y$ соответственно, аналогично $\LARGE u(t,x,y)$.

Отсюда находим [[Eigenvalues and eigenvectors of a matrix|собственные числа и собственные вектора]] матрицы и представим общее решение в виде:
$$\LARGE (\space\begin{align} x \\ y\end{align}\space)=c_1\textbf{a}_1e^{\lambda_1 t}+c_2\textbf{a}_2e^{\lambda_2 t}$$
где лямбды и $\LARGE \textbf{a}$ - собственные числа и вектора соответственно.

Если $\LARGE \lambda_1 >0, \lambda_2 >0$ - точка называется **неустойчивым узлом**, потому что из нее любая траектория уходит.
Если $\LARGE \lambda_1 < 0, \lambda_2 < 0$ - точка называется **устойчивым узлом**, потому что к ней любая траектория приходит
Если $\LARGE \lambda_1 >0, \lambda_2 <0$ (или наоборот) - точка называется **седловой**. Пусть $\LARGE \lambda_1>0, \lambda_2<0$, тогда траектории уходят от линии вертикальной и стремятся стать горизонтальными
![[Pasted image 20241224212053.png]]

Если комплексные лямбда:
$$\LARGE (\space \begin{align}x \\ y\end{align}\space)=2(c'\textbf{a}'-c''\textbf{a}'')e^{\lambda' t}\cos({\lambda'' t})-2(c''\textbf{a}'+c\textbf{a}'')e^{\lambda' t}\sin({\lambda'' t})$$
где $\LARGE \lambda_1=\lambda'+i\lambda'', \lambda_2=\lambda'-i\lambda'', c_1=c'+ic'', c_2=c'-ic''$
![[Pasted image 20241224212603.png]]
Если $\LARGE \lambda'>0$ - неустойчивый фокус
Если $\LARGE \lambda' <0$ - устойчивый фокус

Также допустимы **предельные циклы** - замкнутые траектории.
![[Pasted image 20241224212747.png]]

### Потенциальное поле скорости
Характеризиуется компонентами
$$\LARGE v=-\frac{\partial \Phi}{\partial x}, \space \space u=-\frac{\partial \Phi}{\partial y}$$
где $\LARGE \Phi$ - некоторая функция $\LARGE x$ и $\LARGE y$, называемая **потенциалом скорости**
Другими словами: $\LARGE d\Phi = -u dx - v dy$.

При движении в потенциальном поле:
![[Pasted image 20250111221846.png]]

т.е. потенциал монотонно убывает

### Соленоидальное поле скорости
Характеризуется компонентами
$$\LARGE v=-\frac{\partial \Psi}{\partial y}, \space\space u=\frac{\partial \Psi}{\partial x}$$
где $\LARGE \Psi$ - некоторая функция $\LARGE x$ и $\LARGE y$, которая называется **функцией тока**