#algebra 

**Фундаментальная [[Предел последовательности|последовательность]]** (последовательность Коши) - последовательность чисел $\LARGE x_n$ такая, что для каждого $\LARGE \epsilon > 0$ найдется такой номер $\LARGE N_\epsilon$, что $\LARGE |x_n-x_k|<\epsilon$ при всех $\LARGE n,k \geq N_\epsilon$

где $\LARGE x_n$ и $\LARGE x_k$ - последовательности, а не элементы последовательности
## Свойства
Всякая фундаментальная последовательность $\LARGE \{x_n\}$ ограничена, т.е. лежит в некотором отрезке.
![[Pasted image 20241031224444.png]]

### Теорема о [[Подпоследовательность|подпоследовательности]] фундаментальной последовательности
> Пусть последовательность $\LARGE \{x_n\}$ фундаментальная. Если её подпоследовательность $\LARGE \{x_{n_{k}}\}$ сходится к $\LARGE x$, то вся последовательность сходится к $\LARGE x$.

![[Pasted image 20241031233934.png]]

### [[Критерий сходимости Коши]]
Сходящаяся последовательность $\LARGE \{x_n\}$ фундаментальна:
![[Pasted image 20241031234146.png]]


### Подпоследовательность