#algebra 

**Число Эйлера по определению через предел (второй [[Замечательный предел|замечательный предел]])**:

$$\LARGE \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$$
Другое представление числа Эйлера:
$$\LARGE e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$$
## Доказательство существования предела
### Неравенство Бернулли
Для $\LARGE x>-1$: $\LARGE (1+a)^n \geq 1+na , \forall n \in \mathbb{N}$.

Доказывается [[Бином Ньютона|биномом Ньютона]] или [[Метод математической индукции|математической индукцией]]

### Вывод предела
Пусть $\LARGE x_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$, тогда по неравенству Бернулли $\LARGE x_n \geq 1+\frac{1}{n}(n+1) > 2$, т.е. последовательность ограничена.
Нужно доказать, что последовательность убывает ([[Подпоследовательность#^e656da]])
![[Pasted image 20241104121414.png]]
![[Pasted image 20241104121440.png]]
Отсюда следует, что $\LARGE x_n$ имеет предел. Т.к. $\LARGE (1+\frac{1}{n})^n=\frac{x_n}{1+\frac{1}{x_n}}$, то $\LARGE (1+\frac{1}{n})^n$ также стремится к найденному пределу.