#algebra 

An **eigenvector** (собственный вектор) $\LARGE \vec{v}$ is a [[Вектор|vector]] such that for a $\LARGE n \times n$ [[Matrix|matrix]] $\LARGE A$:
$$\LARGE A\vec{v}=\lambda \vec{v}$$
where the eigenvector $\LARGE \vec{v}$ is a $\LARGE n \times 1$ matrix and the number $\LARGE \lambda$ is the **eigenvalue** (собственное значение).

For a $\LARGE n \times n$ matrix $\LARGE A$ there exist $\LARGE n$ eigenvalues and eigenvectors.

Аналогично существуют **собственные строки**:
$$\LARGE \vec{b}^TA=\vec{b}^T\lambda$$
Для них собственные значения одинаковы собственным значениям собственных векторов

## Characteristic equation (характеристическое уравнение)
By definition:
$$\LARGE (A-\lambda I)\vec{v}=0$$
where $\LARGE I$ is an [[Identity matrix|identity matrix]]

The matrix $\LARGE A-\lambda I$ must be [[Inverse matrix|singular]]:
![[Pasted image 20241003224923.png]]
if $\LARGE A-\lambda I$ is singular, then in reduced row-echelon form it is:
![[Pasted image 20241003225008.png]]
(the rows are **linearly dependent**: z=t, y+3z=..., x+z=...)

Therefore, 
$$\LARGE \det(A-\lambda I)=0$$
this is called the **characteristic equation**. ([[Determinant of a matrix]] is 0)

To find the eigenvalues and eigenvectors of a matrix:
1. Solve $\LARGE \det(A-\lambda I)=0$ for $\LARGE \lambda$
2. Solve $\LARGE (A-\lambda I)\vec{v}=0$ for $\LARGE \vec{v}$ using the eigenvalues acquired in step 1

>[!Example]
>![[Pasted image 20241003225830.png]]
>![[Pasted image 20241003225841.png]]
>![[Pasted image 20241003225855.png]]
> analogous for $\LARGE \lambda =2$

>[!Relation with determinant]
>$\LARGE \det(A-\lambda I)=p(\lambda)$
>$\LARGE p(\lambda)=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)$, where $\LARGE \lambda_i$ - eigenvalue of matrix $\LARGE A$
>Evaluate the characteristic polynomial at $\LARGE \lambda=0$:
>$\LARGE \det(A)=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$
>Thus, the determinant of a matrix is the product of its eigenvalues

## Правило нормирования собственных векторов и разложение матрицы
$$\LARGE \vec{b_i}^T\cdot\vec{a_j}=\delta_{ij}$$
где $\LARGE \delta_{ij}$ - [[Символ Кронекера|символ Кронекера]].

Пронормирова собственные вектора и строки, получаем возможность разложить матрицу:
$$\LARGE A=\sum_i \lambda_i\vec{a}_i\vec{b}_i^T$$
(если собственные значения разные)

Если собственные значения совпадают, то алгоритм таков:

1) во-первых, нужны разные собственные вектора (т.к. собственные вектора это базис, а его компоненты должны быть неколлинеарны)
2) берем одно из совпадающих значений собственного вектора за первое полученное
3) получаем второй следующим образом:
	![[Pasted image 20241016182948.png]]

В таком случае правило нормирования такое:
$$\LARGE \vec{b}^T\cdot\vec{\alpha}=\vec{\beta}^T\cdot\vec{a}=1$$
А матрица раскладывается таким образом:

$$\huge A=\lambda \vec{a}\vec{\beta^T}+\lambda\vec{\alpha}\vec{b^T}+\vec{a}\cdot\vec{b^T} $$

### Каноническое разложение матрицы
Если собственные векторы матрицы $\LARGE A$ образуют [[Базис|базис]], то она представима в виде:
$$\LARGE A=UDU^{-1}$$
где $\LARGE U$ - матрица, составленная из координат собственных векторов, а $\LARGE D$ - [[Диагональная матрица|диагональная матрица]] с соответствующими собственными числами.

>[!Пример]
>![[Pasted image 20250103162045.png]]

Диагональную матрицу $\LARGE D$ также называют **матрицей [[Линейное преобразование|линейного преобразования]] в базисе из собственных векторов**.
![[Pasted image 20250103162216.png]]

>[!Пример 2]
>![[Pasted image 20250103162446.png]]

Решение в случае кратных собственных чисел: (собственные вектора - вектора [[Фундаментальная система решений|ФСР]])
![[Pasted image 20250103163545.png]]
![[Pasted image 20250103163602.png]]
![[Pasted image 20250103163644.png]]
![[Pasted image 20250103163651.png]]
Если для какого-либо собственного числа количество свободных переменных в собственном векторе не равно кратности этого числа, то матрицу нельзя диагонализовать!!!