#algebra 

**Gaussian elimination** is a method of solving [[Systems of equations|systems of linear equations]].

## Process
A system of linear equations is written in **triangular form** if:
![[Pasted image 20240918202119.png]]

Then, the following rules are true:
![[Pasted image 20240918202132.png]]

Элементарные преобразования строк какой-либо матрицы $\LARGE A$ равносильны её умножению слева на так называемые **[[Элементарные матрицы|элементарные матрицы]]**

So, we manipulate equations in such a way that we end up with a triangular system of linear equations equivalent to the given system of equations.

>[!Example 1]-
>![[Pasted image 20240918202319.png]]
>The rest is self-explanatory


> [!Example 2]-
> ![[Pasted image 20240918202416.png]]

>[!Example 3]-
>![[Pasted image 20240918202944.png]]
>![[Pasted image 20240918202954.png]]



## Row-echelon form of matrices
A matrix is in **row-echelon form** (ступенчатый вид) if it satisfies the following condition:
1) first nonzero number in each row (left to right) is 1 (some say this applies only to the reduced row-echelon form, not 100% necessasry) - **leading entry**
2) the leading entry in each row is to the right of the leading entry in the row immediately above it
3) all rows consisting entirely of zeroes are at the bottom of the matrix

Матрица называется **ступенчатой** (по Винбергу), если:
1) номера ведущих элементов её ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность
2) нулевые строки, если они есть, стоят в конце

A matrix is in **reduced row-echelon form** (приведенный ступенчатый вид) if it is in row-echelon form and:
- every number above and below each leading entry is a 0
- only the leading entry (1) is a non-zero entry in a column

![[Pasted image 20240918213959.png]]


^06a136


Gaussian elimination is the method of putting a matrix into row-echelon form.

A similar method is [[Gauss-Jordan elimination]]

Квадратная матрица $\LARGE A=(a_{ij})$ называется **верхней треугольной**, если $\LARGE a_{ij}=0$ при $\LARGE i>j$
Квадратная матрица $\LARGE A=(a_{ij})$ называется **строго треугольной**, если, кроме того, что $\LARGE a_{ij}=0$ при $\LARGE i>j$, $\LARGE a_{ii}\neq 0, \space \forall i$
Квадратная матрица $\LARGE A=(a_{ij})$ называется **нижней треугольной**, если $\LARGE a_{ij}=0$ при $\LARGE i<j$.

### Теорема о приведении к ступенчатому виду
Всякую матрицу путем элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду
![[Pasted image 20241124205318.png]]

## Три случая решения системы уравнений

^7708b0

Рассмотрим произвольную ступенчатую систему линейных уравнений. Пусть число ненулевых строк (число ступенек) её матрицы коэффициентов равно $\LARGE r$, а число ненулевых строк расширенной матрицы равно $\LARGE \bar r$. Очевидно, что $\LARGE \bar r = r$ или $\LARGE \bar r = r+1$.

Случаи:

1) $\LARGE \bar r = r+1$ 
	в таком случае системы содержит уравнение вида $\LARGE 0=b$, где $\LARGE b \neq 0$, и, следовательно, несовместна
2) $\LARGE \bar {r}=r=n$
	![[Pasted image 20241124212614.png]]
3) $\LARGE \bar {r}=r <n$ 
	![[Pasted image 20241124212818.png]]
	

>[!Пример случая 3]
>![[Pasted image 20241124212953.png]]
>![[Pasted image 20241124213004.png]]

**"Главные" - те, что находятся на "ступенях" матрицы, свободные - все остальные**

Можно решать в других "базисах" (через выражение через переменные):
>[!Пример]
>![[Pasted image 20250103131904.png]]
>![[Pasted image 20250103131943.png]]


### Теорема о количестве решений системы одноородных линейных уравнений
Всякая система однородных линейных уравнений, число уравнений которой меньше числа неизвестных, имеет ненулевое решение
![[Pasted image 20241124214544.png]]

### Теорема о решениях СЛАУ и [[Векторное пространство|подпространствах]]
![[Pasted image 20241124220357.png]]![[Pasted image 20241124221259.png]]
в 1) доказывается - подгруппа абелевой группы и второе условие подпространства.
![[Pasted image 20241124221945.png]]