#algebra 

**An $\LARGE m \times n$ matrix** is a rectangular array of numbers with m rows and n columns:
![[Pasted image 20240918203345.png]]

The matrix has **dimension** (размер) $\LARGE m \times n$ 


**Матрица** размером $\LARGE m \times n$ над [[Алгебраическое поле|полем]] $\LARGE K$ - таблица из элементов поля $\LARGE K$, имеющая $\LARGE m$ строк и $\LARGE n$ столбцов.

Относительно суммы матриц и умножения матрицы на элемент $\LARGE \lambda \in K$ все матрицы размера $\LARGE m \times n$ образуют [[Векторное пространство|векторное пространство]], обозначаемое $\LARGE K^{m\times n}$.
## Gaussian elimination
### Augmented matrix in [[Gaussian elimination]]
![[Pasted image 20240918203953.png]]

### [[Gaussian elimination#^06a136|Row echelon form]]


## Properties
Equality:

$\LARGE A=[a_{ij}]$ and $\LARGE B=[b_{ij}]$ are equal if:
1) they have the same dimension
2) their corresponding entries are equal
![[Pasted image 20240918224937.png]]

Sum, difference, scalar product (ONLY IF THE DIMENSION IS THE SAME, OTHERWISE OPERATIONS UNDEFINED):

1. $$\LARGE A+B=[a_{ij}+b_{ij}]$$ (sum of corresponding entries)
2. $$\LARGE A-B=[a_{ij}-b_{ij}]$$ (difference of corresponding entries)
3. $$\LARGE cA=[ca_{ij}]$$ (multiple of each entry by c)

Properties: ([[Real numbers|commutative, associative, and distributive]])
![[Pasted image 20240918225240.png]]

### Matrix multiplication

Matrix product is defined when $\LARGE A$ has dimension $\LARGE m\times n$, and $\LARGE B$ has dimension $\LARGE n \times k$.

Inner product of a row of A and a column of B:

![[Pasted image 20240918230727.png]]
\
![[Pasted image 20240918230739.png]]

>[!Example]-
>![[Pasted image 20240918230946.png]]
>![[Pasted image 20240918230959.png]]

Properties of matrix multiplication:
![[Pasted image 20240918231258.png]]

Matrix division is largely done with the help of inverse matrices:
![[Pasted image 20240920210013.png]]
![[Pasted image 20240920210022.png]]
![[Pasted image 20240920210032.png]]

Произведение матриц:
![[Pasted image 20241124165330.png]]

![[Pasted image 20241124165831.png]]

![[Pasted image 20241124170432.png]]

### Алгебра квадратных матриц
Свойства 9-12 показываюбт, что все квадртаные матрицы порядка $\LARGE n$ образуют ассоциативную [[Алгебра над полем|алгебру]] с единицей, обозначаемую $\LARGE L_n(K)$

Некоторые "отрицательные" свойства алгебры $\LARGE L_n(K)$ при $\LARGE n \geq 2$:
1) Алгебра $\LARGE L_n(K)$ не коммутативна
2) Алгебра $\LARGE L_n(K)$ имеет делители нуля (не поле, значит):
	![[Pasted image 20241124170922.png]]
3) Не всякий ненулевой элемент алгебры $\LARGE L_n(K)$ обратим (следует из 2)
## Types
[[Identity matrix]]
[[Inverse matrix]]
[[Диагональная матрица]]
[[Матричная единица]]