#algebra 

## Properties

Commutative property:
$$\LARGE a+b=b+a$$
$$\LARGE ab=ba$$

Associative property:
$$\LARGE a+(b+c)=(a+b)+c$$
$$\LARGE a(bc)=(ab)c$$
Distributive property:
$$\LARGE a(b+c)=ab+ac$$

Addition/substraction has an **additive identity** (нейтральный элемент сложения): 0 ($\LARGE a+0=a$)
Multiplication/division has a **multiplicative identity** (нейтральный элемент умножения): 1 ($\LARGE a \cdot 1= a$)


## Addition properties
![[Pasted image 20241021210931.png]]
## Multiplication properties
![[Pasted image 20241021211038.png]]

## Свойство порядка
Для всякой пары $\LARGE x,y \in \mathbb{R}$ установлено, что либо $\LARGE x \leq y$, либо $\LARGE y \leq x$, причем:
1) $\LARGE x \leq x$
2) $\LARGE x\leq y, y\leq x$ одновременно лишь при $\LARGE x=y$
3) Если $\LARGE x \leq y, y \leq z$, то $\LARGE x \leq z$

Связь порядка со сложением и умножением:
1) Если $\LARGE x \leq y$, то $\LARGE x+z \leq y+z ,\forall z$
2) Если $\LARGE 0 \leq x, 0 \leq y$, то $\LARGE 0 \leq xy$

Аксиома полноты (также известная как аксиома непрерывности):
![[Аксиома непрерывности]]