#geometry 

## Общее уравнение плоскости
$$\LARGE Ax+By+Cz+D=0$$где $\LARGE A,B,C$ одновременно не равны нулю

## Уравнение плоскости через точку и два параллельных вектора
Уравнение плоскости, проходящей через точку $\LARGE M_0(x_0,y_0, z_0)$ параллельно векторам $\LARGE \vec{v} (v_1, v_2, v_3)$ и $\LARGE \vec{w}(w_1, w_2, w_3)$ выражается формулой:
$$\LARGE \det(\matrix{x-x_0 & v_1 & w_1 \\ y-y_0 & v_2 & w_2 \\ z-z_0 & v_3 & w_3})=0$$
где det - [[Determinant of a matrix|определитель]]


## Уравнение плоскости через три точки
Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки $\LARGE M_0(x_0,y_0,z_0)$, $\LARGE M_1(x_1,y_1,z_1)$, $\LARGE M_2(x_2,y_2,z_2)$, **не лежащих на одной прямой**, выражается формулой:
$$ \LARGE \det(\matrix{x-x_0 &x_1-x_0 &x_2-x_0 \\y-y_0&y_1-y_0 & y_2-y_0\\ z-z_0 &z_1-z_0 & z_2-z_0})=0$$

Разновидность предыдущей формулы

## Уравнение плоскости через точку и [[Нормаль|нормаль]]
Уравнение плоскости, проходящей через точку $\LARGE M_0(x_0; y_0; z_0)$ перпендикулярно вектору $\LARGE \vec{n}(n_1; n_2; n_3)$, выражается формулой:
$$\LARGE n_1\cdot (x-x_0)+n_2 \cdot (y-y_0)+n_3\cdot(z-z_0)=0$$

## Уравнение плоскости, параллельной данной
Для построения плоскости, проходящую через какую-то точку параллельно данной плоскости, можно найти вектор нормали данной плоскости и использовать уравнение плоскости через точку и нормаль

## Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки $\LARGE M_0(x_0;y_0;z_0)$ до плоскости $\LARGE \sigma: Ax+By+Cz+D=0$ выражается формулой:
$$\LARGE \rho(M_0; \sigma)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

## Расстояние между двумя параллельными плоскостями
Расстояние между двумя параллельными плоскостями $\LARGE \sigma_1 : Ax+By+Cz+D_1=0, \space\sigma_2: Ax+By+Cz+D_2=0$ выражается формулой:
$$\LARGE \rho(\sigma_1;\sigma_2)=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$