#geometry 

Any of the shifted [[Эллипс|ellipses]], [[Гипербола|hyperbolas]], [[Парабола|parabolas]] can be rewritten as:
$\LARGE Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+f=0$
If we re-rewrite this, we can complete the square in x and y to see which type of conic section the equation represents. In some cases the graph of the equation turns out ot be just a pair of lines or a single point, or no graph at all = **degenerate conics**.

If it is not degenerate, then:
![[Pasted image 20241001005157.png]]

## Rotation of axes in conics
Rotation of axes in conics is a way of transforming the equation $\LARGE Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ so that the term $\LARGE Bxy$ gets eliminated.

![[Pasted image 20241001010223.png]]
![[Pasted image 20241001010231.png]]

>[!Application]
![[Pasted image 20241001010354.png]]
![[Pasted image 20241001010407.png]]


### General equation of a conic
![[Pasted image 20241001010911.png]]
![[Pasted image 20241001010921.png]]
## Conic identificiation using the discriminant
![[Pasted image 20241001011100.png]]
![[Pasted image 20241001011115.png]]

## Equivalent description of conics
![[Pasted image 20241001202857.png]]
![[Pasted image 20241001203419.png]]
>[!Proof]
>![[Pasted image 20241001203037.png]]
>![[Pasted image 20241001203053.png]]

[[Полярная система координат|Polar]] equation of a conic:
![[Pasted image 20241001205120.png]]

>[!Example of rotation]
>![[Pasted image 20241001205938.png]]


## Another way
For a conic $\LARGE Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$:
![[Pasted image 20241112221316.png]]
(это если уравнение кривой второго порядка НЕ является параболой!)


## Another another way
Кривые второго порядка задаются на плоскости с координатами $\LARGE w_1, w_2$ уравнением:
$$\LARGE \textbf{q}^T \textbf{w}+\textbf{w}^T S \textbf{w}=C$$
где $\LARGE \textbf{q}$ - некоторый [[Вектор|вектор]], $\LARGE S$ - симметричная [[Matrix|матрица]], а $\LARGE C$ - константа.

Рассмотрим сначала случай, когда оба собственных числа матрицы $\LARGE S$ отличны от нуля. Введем координаты $\LARGE x,y$ в соответствии с определением (не забывая про разложение матрицы на ее собственные числа и вектора):
$$ \LARGE \textbf{w}=(x-\frac{\textbf{q}^T \textbf{a}_1}{2\lambda_1})\textbf{a}_1+(y-\frac{\textbf{q}^T\textbf{a}_2}{2\lambda_2})\textbf{a}_2$$
Тогда исходное уравнение запишется в виде:
$$\LARGE \lambda_1x^2+\lambda_2y^2=C^*$$
где $\LARGE C^*$ - новая константа.

В случае если одна из [[Eigenvalues and eigenvectors of a matrix|собственных чисел]], пусть $\LARGE \lambda_2$, равна нулю:
$$\LARGE \textbf{w}=(x-\frac{\textbf{q}^T\textbf{a}_1}{2\lambda_1})\textbf{a}_1+\frac{y}{\textbf{q}^T\textbf{a}_2}\textbf{a}_2$$

Отсюда:
$\LARGE y+\lambda_1 x^2=C_*$ -- парабола

Приводя к форме $\LARGE Ax^2+By^2+2Cxy+Dx+Fy+E=0$:
$$\LARGE S=\pmatrix{A &C\\C&B}, \textbf{q}=\pmatrix{D\\F}, \textbf{w}=\pmatrix{w_1\\w_2}$$$$\LARGE C^*=C+\frac{(\textbf{q}^T\textbf{a}_1)^2}{4\lambda_1}+\frac{(\textbf{q}^T\textbf{a}_2)^2}{4\lambda_2}$$

last formula questionable