#physics 

**Элементарная работа [[Сила|силы]] $\LARGE F$ на перемещении $\large d\textbf{S}$** - проекция этой силы на направление перемещения, умноженная на само перемещение (т.е. [[Скалярное произведение векторов|скалярное произведение]] силы на перемещение)
$$\LARGE dA=Fds\cos{\alpha}=(\textbf{F}\cdot d\textbf{S})$$
где $\LARGE \alpha$ - угол между векторами $\LARGE \textbf{F}$ и $\LARGE d\textbf{s}$

Работа силы $\LARGE \textbf{F}$ вдоль кривой $\LARGE L$: 
$$\LARGE A=\displaystyle \int_L (\textbf{F}\cdot d\textbf{S})$$
это [[Криволинейный интеграл|криволинейный интеграл]] [[Вектор|вектора]] $\LARGE \textbf{F}$ вдоль траектории $\LARGE L$.
### Нерелятивистский случай

Выразив силу через [[Импульс|импульс]]:
$$\LARGE A=\int(\textbf{v} \space d\textbf{p})$$
Откуда $\LARGE \textbf{v} d \textbf{p}=m\textbf{v}d\textbf{v}$
по свойства скалярного произведения векторов: $\LARGE v^2=\textbf{v}^2$ , дифференцируя: $\LARGE v\space dv=\textbf{v}\space d\textbf{v}$.
Отсюда:
$$ \LARGE A_{12}=m\displaystyle\int_{v_1}^{v_2}vdv=\frac{mv^2_2}{2}-\frac{mv^2_1}{2}$$
Элементы разности здесь называются **[[Кинетическая энергия|кинетической энергией]] материальной точки**
Отсюда: работа силы при перемещении равна приращению кинетической энергии.
Также верно для системы: работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы. ^6ff87f

> ПРИРАЩЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РАБОТОЙ НЕ ТОЛЬКО ВНЕШНИХ, **НО** И ВНУТРЕННИХ СИЛ

^73d2c4

### Релятивистский случай

$$\LARGE m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
Подставим в эту формулу $\LARGE v=p/m$:
$$\LARGE p^2+(m_0c)^2=(mc)^2$$
(это формула $\LARGE E^2=E^2_0+p^2c^2$) ^677478

Дифференцируем:
$$\LARGE p\space dp=c^2m\space dm$$
(т.к. $\LARGE p\space dp=\textbf{p}\space d\textbf{p}$ и $\LARGE \textbf{p}=m\textbf{v}$):
$$\LARGE \textbf{v}\space d\textbf{p}=c^2dm$$
Откуда:
$$\LARGE A_{12}=\int\textbf{v}\space d\textbf{p}=\displaystyle \int_{m_1}^{m_2}c^2\space dm=c^2\Delta m$$
где $\LARGE m_1$ и $\LARGE m_2$ - массы материальной точки в начальном и конечном положениях.
Т.е. в релятивистской механике работа определяется только приращением массы материальной точки
$$\LARGE A_{12}=E_2-E_1$$
Когда частица покоится:
$$\LARGE E_0=m_0c^2$$ (**энергия покоя**)
Кинетическая энергия - часть энергии, обусловленная движением частицы:
$$\LARGE K=E-E_0=(m-m_0)c^2$$ ^01409d
## Свойства
$$\LARGE 1 \text{ Дж} = 10^7 \text{ эрг}$$

Особая величина для обозначения энергий электронов: 1 эВ (электронвольт) $\LARGE \approx$ $\LARGE 1.6*10^{-19}$ Дж (энергия, необходимая для переноса 1 электрона между точками с разницей [[Потенциал|потенциалов]] в 1 вольт)
Работа не совершается, когда точка приложения силы не перемещается относительно данной системы отсчета (т.к. перемещение равно 0).

Легко доказать, что элементарная работа результирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил

## Примеры
Работа силы тяги:
$$\LARGE P_{полез}=F_тv$$
![[Pasted image 20230831144355.png]]
![[Pasted image 20230831144525.png]]