#physics #algebra 

## Определение для четвертого ранга
Тензоры $\LARGE \delta^i_k, \space g_{ik}, \space g^{ik}$ ([[Метрический тензор]], единичный [[Четырехмерные тензоры|4-тензор]]) исключительны потому, что их компоненты одинаковы во всех системах координат. Таким же свойством обладает **совершенно антисимметричный единичный 4-тензор четвертого ранга** $\LARGE e^{iklm}$.

Это тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух инндексов, причем отличные от нуля компоненты равны $\LARGE \pm 1$.
Из антисимметричности следует, что все компоненты, у которых хотя бы два индекса совпадают, равны нулю, так что отличны от нуля лишь те, у котроых все четыре индекса различны. Пусть
![[Pasted image 20260116142828.png]]

### Псевдотензор
По отношению к поворотам системы координат величины $\LARGE e^{iklm}$ ведут себя как компоненты тензора, однако при изменении знака у одной или трех координат компоненты $\LARGE e^{iklm}$, будучи определены одинаково для всех систем координат, **не изменяются**, в то время как компоненты тензора должны были бы изменить знак. Поэтому $\LARGE e^{iklm}$ - [[Псевдотензор]]. 

Псевдотензоры любого ранга, в частности [[Псевдоскаляр|псевдоскаляры]], ведут себя как тензоры при всех преобразованиях координат, за исключением тех, которые не могут быть сведены к поворотам, т.е. за исключением отражений - изменений знаков координат, не ­сводимых к вращениям. 


![[Pasted image 20260116144111.png]]
![[Pasted image 20260116144121.png]]![[Pasted image 20260116154510.png]]


### Дуальные тензоры
Если $\LARGE A^{ik}$ - антисимметричный тензор, то тензор $\LARGE A^{ik}$ и псевдотензор $\LARGE A^{*ik}=\frac{1}{2} e^{iklm}A_{lm}$ называются **дуальными друг другу**.

Аналогично $\LARGE e^{iklm} A_m$ есть антисимметричный псевдотензор 3-го ранга, дуальный вектору $\LARGE A^i$.

Произведение $\LARGE A^{ik} A^*_{ik}$ дуальных тензоров есть псевдоскаляр.

## Определение для третьего ранга
**Совершенно антисимметричный единичный псевдотензор 3-го ранга** (или символ Леви-Чивиты) - совокупность величин $\LARGE e_{\alpha \beta \gamma}$, меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь компоненты $\LARGE e_{\alpha \beta \gamma}$ с тремя разлиными индексами. 

При этом полагаем, что $\LARGE e_{xyz}=1$, остальные же равны 1 или -1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок можно привести последовательность $\LARGE \alpha \beta \gamma$ к последовательности $\LARGE xyz$.

![[Pasted image 20260116160113.png]]
![[Pasted image 20260116233134.png]]
![[Pasted image 20260116160046.png]]

### Полярные вектора
![[Pasted image 20260116160329.png]]
([[Псевдовектор]])