#physics 

## Формулировка
$$\LARGE \frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial q_i'})=0$$

## Вывод
Рассмотрим частный вид [[Функционал|функционала]]:
$$\LARGE F=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x,y,y')dx$$
с учетом: $\LARGE y(x_1)=y_1, \space \space \space y(x_2)=y_2$ (граничные условия)

Для поиска минимального решения запишем $\LARGE y=y_0 + \varepsilon \eta$, где $\LARGE y_0$ - решение мин. функционала, $\LARGE \varepsilon$ - обычное число, а $\LARGE \eta(x)$ - фукций, у которой $\LARGE \eta(x_1)=\eta(x_2)=0$. 

Теперь для минимизации функционала нужно минимизировать $\LARGE F(\varepsilon)$ по параметру $\LARGE \varepsilon$
Подставляем значение $\LARGE y$ в $\LARGE F$: 
$$\LARGE F(\varepsilon)=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x, y_0+\varepsilon\eta, y_0'+\varepsilon\eta')dx$$
Найдем экстремум:
$$\LARGE \frac{dF}{d\varepsilon}\Biggr|_{\varepsilon=0}=\frac{d}{d\varepsilon}\int_{x_1}^{x_2}f(x,y_0+\varepsilon\eta, y_0'+\varepsilon\eta')dx=$$
$$\LARGE =\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{d\varepsilon}f(x, y(\varepsilon), y'(\varepsilon))dx=\int_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy(\varepsilon)}{d\varepsilon}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{dy'}{d\varepsilon}]dx=$$
([[Полная производная]]):
![[Pasted image 20250329160024.png]]

При $\LARGE \varepsilon \rightarrow 0$:
$$\LARGE =\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial f}{\partial y_0}\eta+\frac{\partial f}{\partial y_0'}\eta']dx$$
[[Интеграл|Интегрируя]] по частям получаем:
$$\LARGE \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}(\frac{\partial f}{\partial y_0}-\frac{d}{dx}[\frac{\partial f}{\partial y_0'}])\eta(x)dx+\frac{\partial f}{\partial y_0'} \eta\biggr|_{x_1}^{x_2}$$
но по граничным условяим последнее зануляется

С учетом того, что все это равно нулю, получаем:
$$\LARGE \frac{\partial f}{\partial y_0}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y_0'})=0$$
В случае многомерной системы обобщение:
$$\LARGE \frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial q_i'})=0$$
(система уравнений)

>[!Пример]
>Принцип Ферма: свет идет по траектории, занимающей минимальное время
>![[Pasted image 20250329174000.png]] 
>![[Pasted image 20250329174218.png]]