#physics 

В общем случае для системы с одной степенью свободы в постоянном внешнем поле:
$$\LARGE L=\frac{1}{2}m(q)\dot{q}^2-U(q)$$
$$\LARGE E=\frac{1}{2}m(q)\dot{q}^2+U(q)=\text{const}$$

![[Pasted image 20250605122727.png]]

Вместо решения диффура второго порядка, можно воспользоваться [[Закон сохранения энергии|законом сохранения энергии]] и решить диффур первого порядка:
$$\LARGE \frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}[E-U(x)]}$$
$$\LARGE t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int^x\frac{dx'}{\sqrt{E-U(x')}}+\text{const}$$

## Определения
**Финитное движение** - движение, при котором система не выходит из некоторой области пространства.
В одномерном случае финитное движение сосредоточено внутри некоторого $\LARGE (x_1, x_2)$. Точки $\LARGE x_{1,2}(E)$ называются **точками поворота** - являются решениями уравнения $\LARGE U(x)=E$, причем движение происходит в области $\LARGE x_1(E)<x<x_2(E)$ 
**Инфинитное движение** - движение, при котором система уходит бесконечно далеко от начальной точки.
![[Pasted image 20250605123531.png]]

## Период финитного движения
![[Pasted image 20250605124047.png]]
![[Pasted image 20250605132550.png]]
(![[Pasted image 20250605132900.png]])

![[Pasted image 20250605132922.png]]
![[Pasted image 20250605132934.png]]

Если $\LARGE U(x)$ имеет максимум, равный $\LARGE U_{max}$, то $\LARGE T(E) \rightarrow \infty$ при $\LARGE E\rightarrow U_{max}$.
В случае простого максимума (вторая производная не равна нулю) расходимость логарифмическая, в случае более плоского максимума она усиливается - становится степенной.

![[Pasted image 20250606193942.png]]
![[Pasted image 20250606193957.png]]
![[Pasted image 20250606194034.png]]

## Движение вблизи типичной точки поворота
Исследуем движение вблизи точки поворота $\LARGE x_2$:
![[Pasted image 20250606194202.png]]

В типичном случае можно воспользоваться разложением
$$\LARGE U(x) \approx U(x_2(E))+U'(x_2(E))(x-x_2(E))+...$$
которое справедливо при $\LARGE |x-x_e(E))| \ll \bar{x}$, где $\LARGE \bar{x}$ - характерный масштаб изменения функции $\LARGE U(x)$

Тогда для $\LARGE x < x_2 \equiv x_2(E)$:
![[Pasted image 20250606194405.png]]

>[!Пример с математическим маятником]
>![[Pasted image 20250606233641.png]]
>![[Pasted image 20250607025145.png]]
>![[Pasted image 20250607025352.png]]
>![[Pasted image 20250607025109.png]]
>![[Pasted image 20250607030649.png]]
>![[Pasted image 20250607030658.png]]

([[Эллиптические интегралы]])