#physics 

Формула Циолковского:
$$\LARGE \frac{v_{ракета}}{v_{топливо}}=\ln(\frac{m_0}{m})$$
где $\LARGE v_{ракета}$ - скорость ракеты, $\LARGE v_{топливо}$ - [[Скорость|относительная]] скорость уходящего топлива, $\LARGE m_0$ - изначальная масса ракеты с топливом, $\LARGE m$ - масса ракеты с топливом в момент времени $\LARGE t$.

## Вывод
![[Pasted image 20230822134145.png]]
![[Pasted image 20230822134155.png]]
дальше интегрировать

## Другой вывод
Применим [[Уравнение Мещерского|уравнение Мещерского]], полагая что $\LARGE \textbf{F}=0$:
$$\LARGE md\textbf{v}=\textbf{v}_{отн}dm$$
$$\LARGE \frac{dv}{dm}=-\frac{v_{отн}}{m}$$
отсюда простейший случай ггде скорость газовой струи относительно ракеты постоянна:
$$\LARGE v=-v_{отн}\ln{m}+C$$
Если начальная скорость 0, а начальная масса $\LARGE m_0$, то:
$$\LARGE v=v_{отн}\ln{\frac{m_0}{m}}$$

Верхняя формула для нерелятивистских движений.
Для релятивистких движений:

$$\LARGE \frac{m_0}{m}=(\frac{1+\beta}{1-\beta})^{c/2v_{отн}}$$
где $\LARGE \beta=\frac{v}{c}$.

При $\LARGE \beta <<1$ и $\LARGE v_{отн}/c <<1$ формула переходит в формулу Циолковского.