#physics 

**Центр [[Масса|масс]] системы** - такая воображаемая точка, радиус-вектор $\LARGE \textbf{R}$ выражается через [[Радиус-вектор|радиус-векторы]] $\LARGE \textbf{r}_1,\textbf{r}_2, ...$ по формуле:

$$\LARGE \textbf{R}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(m_i \textbf{r}_i)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n m_i}$$
## Свойства
1. Если расположение масс симметрично относительно какой-то точки, то эта точка и будет центром масс (центр масс однородного шара совпадает с его центром)
2. Положение центра масс не изменится, если, выделив какую-то часть рассматриваемой системы, сосредоточить всю массу этой части в одной точке - её центре масс (Центр масс проволочного треугольника совпадает с центром масс системы трех точек, расположенных в серединах сторон (массы точек равны массам соответствующих сторон))
3. Если всю массу системы мысленно сосредоточить в центре масс, то импульс этой воображаемой точки будет равен полному импульсу системы ($\LARGE \vec{P}=(\displaystyle \sum_{i=1}^n m_i)\cdot \vec{v_{цм}}$) (выводится из формулы центра масс (для перемещения))
4. Центр масс движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса системы и к нему приложены все внешние силы
5. Пусть система точек находится в однородном поле тяжести. Тогда суммарный момент тяжести относительно любой оси, проходящей через центр масс, равен нулю, тогда равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т.е. центр масс является также центром тяжести
6. Потенциальная энергия системы точек в однородном поле тяжести:
	$\LARGE E=m_1gh_1 + \dots + m_ngh_n = (m_1+ \dots + m_n)g\frac{m_1h_1+\dots+m_nh_n}{m_1+\dots+m_n}=mgh_{центрмасс}$
7. Кинетическая энергия системы точек может быть представлена в виде суммы кинетической энергии общего поступательного движения системы и кинетической энергии $\LARGE E_{отн}$ движения относительно системы отсчета, связанной с центром масс:
	$\LARGE E=\frac{mv_{ц}^2}{2}+E_{отн}$ - **теорема Кёнига о кинетической энергии** (о доказательстве сравни с [[Теорема Гюйгенса-Штейнера]] и http://kvant.mccme.ru/198407/moment_inercii_v_geometrii.htm)

## Теорема о движении центра масс
Центр масс движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса системы и к нему приложены все внешние [[Сила|силы]].
(следует из формулы центра массы и формулы $\LARGE \frac{d\textbf{p}}{dt}=\textbf{F}^e$)

Хотя центр масс системы совпадает с центром тяжести (т.е. с точкой приложения параллельных сил, действующих на мат. точки системы в однородном поле тяжести), лучше в теории о движении ЦМ не использовать этот термин.
## Применение свойств
![[Pasted image 20230817120341.png]]
![[Pasted image 20230817120351.png]]

---
![[Pasted image 20230817120752.png]]
![[Pasted image 20230817120807.png]]

---
![[Pasted image 20230817123307.png]]

---
![[Pasted image 20230817141440.png]]
![[Pasted image 20230817141453.png]]
![[Pasted image 20230817141507.png]]
![[Pasted image 20230817141520.png]]
в безразличном равновесии