#physics #algebra 

## Основы
Совокупность координат события $\LARGE (ct, x, y, z)$ можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или для краткости 4-радиус-вектора):
![[Pasted image 20260115212515.png]]
![[Pasted image 20260115212550.png]]
([[Преобразование Лоренца]])

Вводят два "сорта" компонент 4-векторов, обозначая их $\LARGE A^i$ и $\LARGE A_i$:
![[Pasted image 20260115212703.png]]

Величины $\LARGE A^i$ называют контравариантными, а $\LARGE A_i$ - ковариантными компонентами 4-вектора.
Тогда квадрат 4-вектора представляется в виде:
![[Pasted image 20260115212740.png]]
(Правило суммирования Эйнштейна)
![[Pasted image 20260115212836.png]]

Произведение $\LARGE A^i B_i$ - **4-скаляр**, оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат.
![[Pasted image 20260115213204.png]]

Аналогично терминологии [[Интервал|интервалов]], квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю: времениподобные, пространственноподобные и нулевые 4-векторы.

4-вектор можно записать как:
$$\LARGE A^i=(A^0, \textbf{A})$$
где вектор $\LARGE \textbf{A}$ представляет собой пространственные компоненты 4-вектора.
![[Pasted image 20260115214245.png]]