#physics #algebra 

**Четырехмерный [[Тензор|тензор]]**  2-го ранга - совокупность 16 величин $\LARGE A^{ik}$, которые при [[Преобразование Лоренца|преобразовании]] координат преобразуются как произведения компонент компонент двух 4-векторов.

## В СТО
Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантные $\LARGE A^{ik}$, как ковариантные $\LARGE A_{ik}$ и смешанные $\LARGE A^i _{\space k}$ (надо различать $\LARGE A^i_{\space k}$ и $\LARGE A^k_{\space i}$)

Связь между различными видами компонент: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1,2,3) меняет знак компоненты:
![[Pasted image 20260115214927.png]]![[Pasted image 20260115215045.png]]


Тензор $\LARGE A^{ik}$ называется **симметричным**, если $\LARGE A^{ik}=A^{ki}$, и **антисимметричным**, если $\LARGE A^{ik}=-A^{ki}$.

У антисимметричного тензора все диагональные компоненты ($\LARGE A^{00}, A^{11}$, тд) равны нулю из определения.

У симметричного тензора $\LARGE A^{ik}$ смешанные компоненты $\LARGE A^i_{\space k}$ и $\LARGE A^k_{\space i}$ совпадают, в таком случае пишется просто $\LARGE A^i_k$.

![[Pasted image 20260115215416.png]]


### След тензора
Из компонент тензора $\LARGE A^{ik}$ можно образовать скаляр путем образования суммы:
![[Pasted image 20260115234421.png]]
(причем, конечно, $\LARGE A^i_{\space i}=A^{\space i}_i$)

Такую сумму называют **следом тензора**, а об операции его образования говорят как о **свертывании** или **упрощении** тензора.

Операцией свертывания также является образование скалярного произведения двух 4-векторов (это образование скаляра $\LARGE A^i B_i$ из тензора $\LARGE A^i B_k$).

Всякое свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на 2!
(например: $\LARGE A^i_{kli}, A^{ik}_{ik}$)

### Единичный 4-тензор
Единичным 4-тензором называется тензор $\LARGE \delta_k^i$, для которого имеет место равенство
![[Pasted image 20260115235813.png]]

### Рассмотрение через [[Псевдовектор|полярные и аксиальные вектора]]
![[Pasted image 20260116161331.png]]

### Дифференциальные и интегральные операции четырехмерного тензорного анализа

![[Pasted image 20260116161738.png]]
![[Pasted image 20260116161808.png]]
![[Pasted image 20260116161959.png]]

![[Pasted image 20260116162049.png]]


В четырехмерном пространстве возможны четыре рода интегрирований:
![[Pasted image 20260116162100.png]]
![[Pasted image 20260116162228.png]]
![[Pasted image 20260116162300.png]]
![[Pasted image 20260116162311.png]]

![[Pasted image 20260116162408.png]]
![[Pasted image 20260116162431.png]]

### Аналоги [[Теорема Гаусса-Остроградского|теоремы Гаусса-Остроградского]] и [[Теорема Стокса|теоремы Стокса]]
![[Pasted image 20260116162533.png]]
![[Pasted image 20260116162605.png]]


>[!Задача-пример]
>![[Pasted image 20260116231034.png]]