#physics 

## Вывод
По [[Принцип наименьшего действия|принципу наименьшего действия]]:
![[Pasted image 20260131184907.png]]

![[Pasted image 20260131190247.png]]

Интегрируем по частям:
![[Pasted image 20260131190329.png]]
![[Pasted image 20260131190353.png]]
![[Pasted image 20260131190405.png]]

**ОТСЮДА**:


## Определения
**4-импульс** - [[Четырехмерные векторы|4-вектор]]:
$$\LARGE p_i=-\frac{\partial S}{\partial x^i}$$
![[Pasted image 20260131190810.png]]![[Pasted image 20260131190832.png]]

Таким образом, в релятивистской механике **импульс** и **энергия** являются компонентами **одного** 4-вектора.

Отсюда вытекают формулы [[Преобразование Лоренца|преобразования импульса и энергии от одной ИСО к другой]]:
![[Pasted image 20260131190950.png]]
где $\LARGE p_x, p_y, p_z$ - компоненты трехмерного вектора $\LARGE \textbf{p}$

Из определения 4-импульса и тождества $\LARGE u^i u_i=1$ имеем:
![[Pasted image 20260131191356.png]]

Если подставить сюда выражения $\LARGE p^i=(\frac{\varepsilon}{c}, \textbf{p})$, получим соотношение между [[Энергия частицы|энергией и импульсом]] (из которого выводится гамильтониан)


По аналогии с обычным определением силы 4-вектор силы можно определить как производную:
![[Pasted image 20260131191656.png]]

Его компоненты удовлетворяют тождеству $\LARGE g^iu_i=0$ (из [[Четырехмерная скорость и ускорение|4-ускорения]]).

Компоненты 4-вектора силы выражаются через обычный трехмерный вектор силы $\LARGE \textbf{f}=\frac{d\textbf{p}}{dt}$ согласно:
![[Pasted image 20260131191758.png]]
(выводится напрямую из $\LARGE g^i=\frac{dp^i}{ds}$)

Временная компонента оказывается связанной с работой силы.