#physics 

## [[Энергия]] и работа электрического поля заряженного конденсатора
Используем понятие [[Потенциал|потенциала]] и [[Электроемкость|электроёмкости]]:

Сила притяжения двух обкладок конденсатора:
$$\LARGE F=\frac{E}{2}q$$, q - заряд конденсатора.

$$\LARGE A=Fd=\frac{q\cdot(Ed)}{2}=\frac{qU}{2}$$ (при наличии диэлектрика поделить на $\LARGE \epsilon$). A - работа, совершенная для соприкосновения пластинок (после соприкосновения q=0). Следовательно,
$$\huge W=\frac{qU}{2}=\frac{C\cdot U^2}{2}=\frac{q^2}{2C}$$, где W - энергия [[Конденсатор|конденсатора]], q - его заряд, U - напряжение между его пластинами, C - его электроёмкость.

Кроме того:

$$\LARGE W=\frac{C\cdot U^2}{2}=\frac{\epsilon\cdot\epsilon_0\cdot S\cdot (E\cdot d)^2}{2d}=\frac{\epsilon\cdot\epsilon_0 \cdot E^2}{2}\cdot S\cdot d=\frac{\epsilon\cdot\epsilon_0 \cdot E^2}{2}\cdot V$$
$$\huge \omega = \frac{\epsilon\cdot\epsilon_0 \cdot E^2}{2}$$
Омега - *средняя объёмная плотность энергии электрического поля*.


## Энергия системы зарядов
$$\LARGE U=\frac{1}{2}\sum q_k \varphi(\textbf{r}_k)$$
ИЛИ
$$\LARGE U=\frac{1}{2}\int \rho(\textbf{r})\varphi(\textbf{r})dV$$
(не учитывает вклад первых двух слагаемых, т.е. это для "размазанного по объему" заряда)

Вывод:
![[Pasted image 20250204225821.png]]
![[Pasted image 20250204225833.png]]
![[Pasted image 20250204225848.png]]

Стандартная интерпретация: вклад в энергию происходит из тех областей пространства, непосредственно в которых расположены заряды.

Альтернативная точка зрения:
![[Pasted image 20250204230130.png]]
(интеграл из [[Уравнения Лапласа и Пуассона|уравнения Лапласа]] берется)

![[Pasted image 20250204230651.png]]
![[Pasted image 20250204230702.png]]

>[!Замечание]
>![[Pasted image 20250204230824.png]]
>![[Pasted image 20250204230837.png]]

## Связь с силой
Изменение потенциальной энергии в поле:
$$\LARGE dU=-F\cdot d{\textbf{r}}$$

Тогда:
$$\LARGE \textbf{F}=-\nabla U$$
([[Градиент]])

## Энергия поля в среде
Под энергием понимаем работу, которую необходимо совершить, чтобы "собрать" систему *свободных* зарядов.
Пусть есть ограниченный в пространстве [[Диэлектрик|диэлектрик]] и мы добавляем в него свободные заряды
![[Pasted image 20250317014349.png]]

Тогда вектор [[Электрическая индукция|электрической индукции]] в каждой точке получает некоторое приращение:
$$\LARGE \nabla\cdot\delta\textbf{D}=4\pi\delta\rho_{своб}$$
Перепишем изменение энергии поля тогда как:
![[Pasted image 20250317014454.png]]

$$\LARGE dU=\frac{1}{4\pi}\int\textbf{E}\cdot\delta\textbf{D}\space dV$$

![[Pasted image 20250317014538.png]]
![[Pasted image 20250317014548.png]]